ARTÍCULO:

ORIGEN Y DESARROLLO DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA

INTRODUCCIÓN

Sería interesante que cada uno de nosotros aprendiéramos como y en que orden los descubrimientos de matemática, se fueron sucediendo los unos a los otros y a qué los matemáticos nos vimos obligados... El placer que nos proporciona descubrir las relaciones, las conexiones de los métodos, las asociaciones de las diferentes teorías,   comenzando desde los primeros tiempos y hasta los actuales para proporcionarnos la visión que tenemos de esta ciencia, que se  transforma en  portadora  de un sistema de alto grado de perfección.-

PIERRE RAIMONDE DE MONTMORT (1678-1719), carta a Nicole Bernouilli

          El señor de MONTMORT precisaba con las pocas palabras arriba citadas, el fin último de la Historia de las matemáticas que, en sustancia, no son distintas del de la historia de cualquier otra ciencia.

“Buscar en que orden se han sucedido los descubrimientos en matemática unos a otros, y a quiénes se los debemos”... “ver la ligazón, la conexión de los métodos, el encadenamiento de las diferentes teorías, comenzando desde los primeros tiempos hasta el nuestro”.

Pero ésta es la fase última de las investigaciones históricas; para llegar a ella el historiador debe haber conocido matemáticos de todas las naciones, las investigaciones a las que se han dedicado, y, sobre todo, debe haber acertado la época en que han sido hechas, para poder seguir el desarrollo de las nuevas ideas y asegurarse de la originalidad de los conceptos.

Búsqueda ésta bastante difícil mientras no se ponga en práctica la propuesta de F. AMODEO, presentada al IV Congreso Internacional de los Matemáticos, en 1908, de formación de un Archivo de las Ciencias Matemáticas; propuesta que fue acogida con benevolencia y calurosamente apoyada por ZEUTHEN, que se dirigió a Nápoles para hablar de ella con el proponente, pero que no ha tenido aún ninguna actuación.

La síntesis histórica  hecha en una época no puede ser la que se hará un siglo después, tan grande es la evolución de las teorías en nuestros días. La síntesis histórica es función de la época en que se la hace. Cada época hace resaltar en forma distinta la importancia de las teorías creadas en las épocas precedentes; más se aleja uno de ellas y más se reconoce en el conjunto, con muchos detalles que deben ser pasados por alto y otros deben destacarse. La síntesis histórica debe hacer resaltar porqué una teoría determinada se ha desarrollado en una forma y no en otra; porqué un camino abierto, considerado excelente, ha sido olvidado; porqué un teorema enunciado no ha sido apreciado; porqué otra teoría ha quedado estancada por siglos y se ha desarrollado luego de golpe, para continuar luego con camino rápido y sorprendente.

A la bondad de la síntesis histórica concurre también la calidad del historiador. Este, en los tiempos actuales, debe ser sincero, sereno en su juicio, y, sobre todo, impersonal, privado de antipatías y simpatías, y hasta debe olvidar las opiniones propias, si éstas han sido superadas.

Debe, particularmente en la historia reciente, despojarse de los hábitos de escuela, ser justo y no pecar de omisiones; cuando esto ocurre por ignorancia de las obras existentes, pero caídas en el olvido, el error, debido a fuerza mayor, es perdonable; pero si ocurre (reprochable hipótesis) por determinación voluntaria de hacer caer en el olvido obras recordadas por otros, el historiador no puede evitar el ser acusado de ignorancia o de parcialidad. ¡La historia termina siempre por poner las cosas en su lugar! Todos los escritores deben  cuidarse de eso, puesto que la calidad de historiador es alcanzada por quien ha confeccionado la bibliografía de los asuntos de los cuales se ocupa. Actualmente se ha creado en Italia una conciencia nacional que somete la acción individual al interés, al decoro, a la dignidad de la Nación, y para Italia es por eso un deber nacional no caer en el defecto arriba indicado.

Existe todavía un prejuicio en la historia: el de callar los errores cometidos por los matemáticos, como si un error pudiese manchar la brillante luz que emana de los descubrimientos por ellos realizados. Por el contrario, cada error ha sido incentivo de nuevos descubrimientos por ellos realizados. Por el contrario, cada error ha sido incentivo de nuevos descubrimientos;  su conocimiento y su superación incitan al progreso y envalentona a los jóvenes que se sienten poseídos por la chispa del genio de las investigaciones. ¿Cómo llegó el gran JOHANN KEPLER (1571-1630) al descubrimiento de sus tres famosas leyes astronómicas? Tentando continuamente y durante 22 años hipótesis más o menos fantásticas las unas que las otras. Comienza con la fantasía de buscar una analogía entre los seis planetas y los cinco poliedros regulares. Si a la esfera de radio igual a la órbita de Mercurio (entonces las órbitas se creían circulares) se circunscribe un octaedro regular, la esfera circunscripta a éste tendrá por radio el de la órbita de Venus, y circunscribiendo a continuación el icosaedro, el dodecaedro, el tetraedro, el cubo, buscaba los radios de las órbitas de los planetas restantes. Buscaba la armonía en el desorden aparente y, equivocándose continuamente, llegaba a la verdad.

Puesto que, cuando se dirigió a TYCHO BRAHE  (1546-1601) y puso como base de sus tentativas las observaciones que este astrónomo hacía sobre las posiciones de Marte, encontró primero la ley de las áreas descriptas por los radios vectores heliocéntricos; encontró luego que la curva de la órbita no podía ser circular sino elíptica; y concluyó por fin, después de 22 años, con la 3^ra ley de los cuadrados de los tiempos empleados por los planetas en recorrer sus órbitas. Esto ocurrió el 18 de marzo de 1618, dice él, con íntima satisfacción.

Que la simpatía entre los geómetras no existe en grado superlativo lo atestiguan diversos hechos. Elegimos dos de entre los ocurridos en tiempos pasados, para no perturbar las conciencias modernas.

Cuando BLAISE PASCAL publicaba su teorema del exagrama místico, escribió al final del opúsculo que él, mediante los tres lemas enunciados, habría dado un tratado completo de las secciones cónicas, y también la construcción de las cónicas por puntos, etc., y terminaba con estas palabras: “Tenemos  varios problemas y teoremas más, y varias consecuencias, pero la desconfianza que tengo de mi poca experiencia y capacidad no me permite decir nada más de ellos, antes de que hayan pasado bajo el examen de personas entendidas que quieran obligarme al examinarlo: después de lo cual, si se juzga que la cosa merece ser continuada, intentaremos desarrollarla hasta donde Dios nos dé fuerza para llevarla”. Aludía, sin duda, al tratado de las secciones cónicas que se ha perdido, porque la aprobación pedida no llegó.

Cuando ROBERT SIMSON (1687-1768) publicó su apreciable tratado de las secciones  cónicas (I^a, ed. 1735, 2^a,ed. 1750) Sectionum conicarum libri quinque  sobre el que poco habló M. CHASLES  y que ha sido ocultado por el historiador M. CANTOR, escribió en la pág. 214:

“... de las proposiciones dadas se deducen muchos teoremas que son útiles y necesarios en la composición de difíciles problemas sólidos, que, si dios quiere y gustan a los geómetras, podré quizá publicar luego (postea forsitam trademus)”. Pero los geómetras no se cuidaron de alentarlo y SIMSON tuvo guardado lo que se había proopuesto publicar.

Quien considera el estado actual de la Geometría proyectiva queda deslumbrado por su grandiosidad; no hay actualmente teoría de la Geometría, de la Mecánica, de la física Matemática, de la Física atómica, de la Astronomía, que no haya sido invadida y mejorada por ella. Hubo un tiempo en que. CAYLEY (1821-1895) pudo decir que la Geometría Proyectiva es toda la Geometría. F. KLEIN (1849-1925) consideró exagerada esta frase, iniciando investigaciones para demostrar que se podían abrir otros caminos, que se podían atribuir otras propiedades a las curvas que no dependen de las de las cónicas y cuádricas, y que, junto a éstas, otras curvas, otras superficies, tienen importancia igual o mayor. Y confirmó, en cambio, que se llegaba a estos resultados mediante la teoría de las transformaciones, que nace justamente con la Perspectiva, fuente de la Poyectiva.

La Geometría Proyectiva es actualmente una ciencia que se vale de cualquier instrumento para llegar a sus fines, sea algebraico, infinitesimal, diferencial, topológico, vectorial, etc.

Se puede decir que la Perspectiva y la Descriptiva nacidas contemporáneamente tienen cada una su propio período afortunado.

Un período afortunado de la Perspectiva solamente, con preparación completamente italiana, es el que va de PIERO DELLA FRANCESCA a DESARGUES: dos siglos, y durante este período los geómetras pusieron de lado a la Descriptiva, pero, como se verá, se sirvieron de ella los astrónomos. Otro período se refiere únicamente a la Descriptiva, y va de FREZIER a MONGE Y HACHETTE, y en él la Perspectiva es casi descuidada. Luego toma desarrollo la Perspectiva y se hace Proyectiva desde PONCELET a STAUDT y CREMONA, en un glorioso período. Comienza luego el período brillante de LEIN-LIE, y por el último período deslumbrante puramente italiano, que desde C. SEGRE se completa con F. SEVERI.

Sin embargo, esta ciencia, que ha ido tan alto, se ha convertido en Italia, después de la muerte del gran geómetra L. CREMONA y del infatigable maestro ACHILLE SANNIA, en la Cenicienta de la Ciencia.

La  Geometría Proyectiva, que se llamaba antes Geometría Superior, fue considerada fundamental y necesitada de un segundo curso de complementos; ahora ha sido abolida en las universidades italianas y aparece apenas apareada a la Geometría Analítica o a la Geometría Descriptiva, como vergonzosa de existir de por sí. ¡No ocurre eso sin embargo fuera de Italia!

El autor de este artículo, se ha preguntado si esta obra, que modestamente presenta al público, puede ser útil, y se ha convencido, aparte del sentimiento de paternidad que cada uno siente por las propias obras, que su lectura será útil, especialmente a los geómetras jóvenes, a los futuros investigadores a quienes está confiado el honor de sostener la gloria de la Geometría en Italia,  al ponerlos al corriente de los asuntos más vitales que se desarrollan actualmente en las distintas naciones. Un joven que quisiera enterarse por sí mismo debería leer tantos de esos gloriosos volúmenes que no tendría tiempo de pensar en nuevas creaciones.

Hay obras magistrales y poderosas que han hecho épocas y de las cuales basta conocer el concepto que han desarrollado. Existen, en cambio, pequeñas obras de pocas páginas, en las que se debe ponderar todas sus frases, porque en cada una de ellas hay un nuevo concepto impreso con caracteres indelebles por el autor.

Y esto aprenderá el joven futuro geómetra con la lectura de la presente obra, la cual, por lo menos en Italia, no puede ser considerada duplicado de ninguna otra análoga, aunque haya tantos geómetras excelentes que podrían hacerlo mejor. El autor no pretende haber agotado el asunto, por lo menos desde el punto de vista estrictamente proyectivo. Se propone continuarlo en otra dirección.

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