UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE

Facultad de Ingeniería

Resistencia - Chaco - Argentina

DEPARTAMENTO: MATEMATICA

PROGRAMA: ALGEBRA Y GEOMETRIA – Plan 1998

APROBADO POR RESOLUCION Nº 045/98 - C.D.

REGIMEN

HORAS DE CLASE

PROFESORES

Cuatrimestral

Por Semana

Total

 

10

150

 

 

ASIGNATURAS CORRELATIVAS PRECEDENTES

Aprobadas

Regularizadas

 

 

- PROGRAMA ANALITICO

TEMA I: LOGICA PROPOSICIONAL.

Proposiciones simples. Operaciones con proposiciones. Leyes o tautologías. Cuantificadores.

TEMA II: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS.

Ley de composición interna. Propiedades y elementos notables. Estructura de: monoide, semigrupo, grupo, subgrupo, anillo, dominio de integridad, subanillo, cuerpo, subcuerpo.

Ley de composición externa. Definición de espacio vectorial. Subespacioes. Ejemplos: vectores geométricos; (R2, + , R, )

Combinación lineal. Conjunto generado, vectores linealmente independientes, vectores linealmente dependientes. Base. Dimensión.

Condición para eliminar un vector de un conjunto de vectores y condición para cambiar un vector por otro en un conjunto sin alterar el conjunto generado.

Coordenadas de un vector. Base canónica. Componentes. Paralelismo de vectores. Algoritmo para calcular vectores linealmente independientes.

TEMA III: MATRICES Y DETERMINANTES.

Matrices sobre un cuerpo K. Matriz rectangular, cuadrada, fila, columna, escalonada. Igualdad de matrices. Matriz traspuesta. Matrices cuadradas particulares. Matriz simétrica.

Algebra matricial: suma, propiedades. Producto de una matriz por un escalar, propiedades. Producto de matrices. Propiedades. Anillo de matrices cuadradas. Matrices particionadas en columnas y en filas.

Determinantes. Definición axiomática. Propiedades que se deducen de los axiomas. Determinante de segundo orden. Determinante de tercer orden. Regla de Sarrus.

Menor complementario del elemento aij. Adjunto o cofactor del elemento aij. Determinante de una matriz triangular. Desarrollo de un determinante por elementos de una línea.

Matriz Adjunta. Propiedad. Matriz Inversa. Rango de una matriz. Operaciones o transformaciones elementales. Matrices equivalentes.

TEMA IV: ECUACIONES LINEALES – SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Ecuaciones lineales. Compatibles determinadas, compatibles indeterminadas, incompatibles. Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas generales, cuadrados, homogéneos. Sistemas cramerianos. Teorema de Carmer. Regla de Cramer. Sistemas equivalentes. Combinación lineal de ecuaciones de un sistema. Teorema fundamental de equivalencia. Teorema de Rouché Frobenius.

TEMA V: CALCULO VECTORIAL.

En R2 y R3 vectores como combinación lineal de vectores de la base canónica, módulo de un vector. Cosenos directores. Versor. Componentes de un versor. Vector dado por diferencia de dos vectores posición.

Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento.

Producto escalar. Definición. Producto escalar en función de las componentes. Representación gráfica. Propiedades.

Producto vectorial. Definición. Expresión cartesiana del producto vectorial. Representación geométrica. Propiedades.

Producto mixto. Definición. Cálculo del producto mixto. Representación geométrica.

TEMA VI: RECTA EN EL PLANO.

Recta que pasa por un punto y es paralela a un vector, ecuación vectorial simétrica y ecuaciones paramétricas, números directores. Ecuación explícita. Posiciones particulares de una recta respecto de los ejes. Recta que pasa por dos puntos. Ecuación del haz de rectas. Ecuación general o implícita. Ecuación segmentaria. Distancia de un punto a una recta. Ecuación normal. Angulo entre dos rectas, condición de paralelismo y perpendicularidad.

TEMA VII: PLANO.

Ecuación general del plano. Posiciones particulares de un plano. Ecuación segmentaria. Distancia de un punto a un plano. Ecuación normal. Plano que pasa por tres puntos no alineados. Angulo entre dos planos. Condición de paralelismo y perpendicularidad. Ecuación del haz de planos.

TEMA VIII: RECTA EN R3.

Recta que pasa por un punto y es paralela a un vector, ecuación vectorial simétrica y ecuaciones paramétricas, números directores. Recta que pasa por dos puntos. Recta determinada por la intersección de dos planos. Planos proyectantes. Posiciones particulares de la recta en R3. Trazas. Intersección de recta y plano. Angulo entre dos rectas. Condición de paralelismo y perpendicularidad. Angulo de recta y plano. Distancia de un punto a una recta. Mínima distancia entre dos rectas alabeadas.

TEMA IX: TRANSFORMACIONES LINEALES.

Definición. Teorema fundamental de las transformaciones lineales. Matriz asociada a una transformación lineal. Cambio de base.

Relación entre las matrices que caracterizan una transformación lineal en bases diferentes. Núcleo e imagen de una transformación lineal. Teorema de las dimensiones o Teorema del rango.

TEMA X: AUTOVALORES Y AUTOVECTORES.

Operadores lineales. Subespacios invariantes. Concepto de valores y vectores y vectores propios. Ejemplos. Polinomio característico y ecuación característica.

Cálculo de valores y vectores propios. Condiciones de diagonalización. Propiedades. Algoritmo de diagonalización. El polinomio característico y la ecuación característica son invariantes respecto de los cambios de la base. Diagonalización de matrices simétricas. Base de autovectores ortonormales.

TEMA XI: CONICAS.

Definición, ecuación y elementos de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.