Álgebra normada y completa.

Banach, teorema de

Sean E y F dos espacios de Banach y f una aplicación lineal continua y sobreyectiva de E en F. La imagen de un abierto de E es un abierto de F. En particular, toda aplicación lineal continua y biyectiva de E en F es un homeomorfismo.

Sea E un espacio vectorial topológico localmente convexo y separado y sea S un subconjunto de E. Para que S sea acotado es necesario y suficiente que la imagen de S por toda forma lineal continua sobre E sea acotada.

Banach-Steinhaus, teorema de

SeaE un espacio de Fréchet, F un espacio vectorial topológico localmente convexo y separado y H un subconjunto del espacio vectorial de las funciones lineales continuas de E en F. Son equivalente:

• Para todo elemento x Î E, el conjunto {f(x)/fÎ H} es un subconjunto acotado de F.
• Para toda parte P acotada de E, el conjunto {f(x) / xÎ P, f Î H} es un subconjunto acotado de F.
• El subconjunto H es equicontinuo.

Supongamos que A es un espacio afín asociado a un espacio vectorial E y que (M_i)_{i Î I} es un sistema de referencia afín. Para todo punto M de A podemos hallar una sucesión finita de escalares (l_i)_{1 £ i £ m} y una sucesión finita de puntos del sistema de referencia afín (M_i)_{1 £ i £ m} tales que å_i=1ⁿ l_i=1 y M es el baricentro de los M_i afectados por los coeficientes l_i. Los coeficientes son únicos y se llaman coordenadas baricéntricas del punto M.

Sean (M_i)_{1 £ i £ m} una sucesión finita de puntos de un espacio afín A y sea (l_i)_{1 £i £ m} una sucesión de escalares cuya suma no es nula. Entonces existe un único punto Q de A tal que

Este punto Q recibe el nombre de baricentro de los M_i afectados por los coeficientes l_i.

Pastor y matemático inglés (Londres, 1630-Cambridge, 1677). Su principal aportación es la determinación de áreas y tangentes de algunos casos particulares. Este trabajo sirvió de punto de partida a su alumno y sucesor Isaac Newton.

Parte distinguida de una figura geométrica (ver cilindro, cono, pirámide).

base de entornos

base de numeración

Véase numeración.

Se llama base de un espacio vectorial E o de un A-módulo a una familia de vectores de E que sea libre y generadora.

Sea (E,T) un espacio topológico. Base de la topología T de E es toda colección de abiertos B de T tal que todo abierto de T se pueda expresar como unión de elementos de B.

básica, parte

Bayes, fórmula de

Véase condicionada, probabilidad.

Bayes, Thomas

Matemático y pastor inglés (Leather-Lane, 1702, Turnbridge Welles, 1761).

Bernoulli, Daniel

Matemático y científico suizo. Hijo de Johann Bernoulli. Nació en Groningen (Holanda) en 1700 y murio en 1782 en Basilea. Ejerció de profesor de matemáticas en la Academia Rusa de San Petesburgo y más tarde dio clases de filosofía experimental, anatomía y botánica en Groningen y Basilea. Sus trabajos principales se desarrollaron en la mecánica de fluidos, ecuaciones diferenciales, derivadas parciales, cálculo de probabilidades y estadística. Contribuyó a expandir las teorías de Newton por Europa.

Bernoulli, Jacob

Hermano de Johann y tío de Daniel Bernoulli. (Basilea, 1654-Basilea, 1705). Trabajos importantes en análisis (ecuaciones diferenciales, isoperímetros), en geometría diferencial (propiedades métricas de las curvas) y teoría de las probabilidades. A él se deben los números, la variable y la lemniscata que llevan su nombre.

Bernoulli, Johann

Padre de Daniel Bernoulli y hermano de Jakob Bernoulli. (Basilea, 1667-Basilea, 1748). Sus trabajos versan sobre análisis (integración de funciones elementales) y geometría diferencial (geodésicas, trayectorias ortogonales).

Bernoulli, lemniscata de

Bernoulli, polinomios de

Sucesión de polinomios (B_n) tales que para todo n entero positivo es

Bernoulli, variable de

Bernstein, Serguei Nathanovic

Matemático ruso (Odesa, 1880, Moscú, 1968). Sus trabajos principales abarcan temas de Cálculo de Probabilidades, Teoría de Conjuntos y aproximación de funciones continuas por polinomios.

Bertrand, Joseph Louis François

Matemático francés (París, 1882, París, 1900).

Sea (e_i)_{iÎ I} una familia ortonormal de vectores de un espacio prehilbertiano separado E. Si u es un vector de E, u·e_i designa el producto escalar de x y e_i y ||u|| es la norma de u, se tiene que

Bessel, funciones de

Bessel, Friedrich Wilhelm

Astrónomo y matemático alemán (Minden, 1784-Koenisberg, 1864). Es conocido sobre todo por realizar la primera medición de la distancia a una estrella utilizando el método del paralaje. Supervisó la construcción del observatorio de Koenisberg del que fue director hasta su muerte. Su aportación en matemáticas se centra en la solución de ciertas ecuaciones diferenciales mediante funciones que llevan su nombre.

beta, función

Véase  eulerianas, funciones.

Bézout, Étienne

Matemático francés (Nemours, 1730-Les Basses-Loges, 1783).

Bézout, identidad de

Sea A un dominio de integridad con unidad notada de la forma usual 1 y sea (a₁,a₂, ..., a_n) una sucesión finita de elementos de A. Para que estos elementos sean primos relativos, es necesario y suficiente que exista una sucesión (x₁, x₂, ..., x_n) de elementos de A tales que

bicuadrada, ecuación

bilineal, aplicación

Sean E,F y G tres espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo conmutativo K. Una aplicación bilineal es una aplicación de E ×F en G que verifica para todo a, b Î K y para todo u,v ÎF y u¢, v¢ Î G

• f(au + bv, u¢)=af(u,u¢) + bf(v,u¢),
• f(u,au¢+ bv¢)=af(u,u¢) + bf(u,v¢).

bilineal, forma

Sean E yF dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo conmutativo K. Una forma bilineal sobre el producto cartesiano E ×F es una aplicación que cumple las condiciones siguientes:

• Para todo x,y,z Î E y para todo a, b Î K es f( ax + by, z)=af(x,z)+ bf(y,z).
• Para todo x,y,z Î E y para todo a, b Î K es f(x, ay + bz)=af(x,y)+ bf(y,z).

binomial, coeficiente

Véase  binomio.

binomial, ley

Sea (X_i)_{1£ i £ n} una sucesión de variables aleatorias de Bernoulli independientes y teniendo además la misma ley. Sea p la probabilidad de que X_i tome el valor 1. Sea también q=1-p. Entonces la variable S=X₁+X₂+... + X_n se denomina variable binomial y la ley que nos da la probabilidad de que S valga k Î {0,1,..., n} se denomina binomial de parámetros n y p y se nota por B(n,p), siendo expresión

donde (n,k) es el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k.

Polinomio cuyos coeficientes son todos nulos salvo como máximo dos.

Véase normal a una curva.

bipolares, coordenadas

Sea P y Q dos puntos distintos de un plano afín euclídeo A. Para todo par de números reales positivos (r,r¢) tales que r+r¢ ³ ||PQ||, existen dos puntos (que pueden ser iguales) M y N tales que ||MP||=r y ||NQ||=r¢. El par (r,r¢) se llama coordenada bipolar de los puntos M y N.

Sea K un cuerpo conmutativo y sea Kⁿ el espacio vectorial de las n-tuplas formadas por elementos de K con las operaciones usuales. Una biyección de un abierto de Zariski del espacio vectorial Kⁿ sobre otro se llama birracional si son racionales tanto ella como su inversa.

bisector, plano

Sea A un espacio afín euclídeo de dimensión 3 y consideremos dos planos afinesP₁ y P₂ no paralelos. El conjunto de los puntos equidistantes de P₁ y P₂ es la unión de dos planos afines perpendiculares entre sí, llamados planos bisectores de P₁ y P₂.

Sean r₁ y r₂ un par de semirrectas de origen común O de un plano euclídeo orientado A. La ecuación Ang (r₁,r)=Ang (r,r₂), donde r es una semirrecta desconocida, admite dos soluciones r¢ y r¢¢ cuya unión es una recta llamada bisectriz de las semirrectas r₁ y r₂.

Cifra 0 o 1 en numeración binaria.

Véase  biyectiva, aplicación.

biyectiva, aplicación

Toda aplicación que es a la vez inyectiva y sobreyectiva recibe el nombre de biyección. Es entonces una aplicación f:E® F, de un conjunto E (dominio) en un conjunto F (codominio) tal que todo elemento de F es imagen de un único elemento de E.

Sea (A,d) un espacio métrico y sea a un punto de dicho espacio. Dado un número real positivo e, se llama bola cerrada de centro a y radio e al conjunto de puntos de A cuya distancia al punto a es menor o igual que e. En el caso de que la distancia al centro a sea menor estrictamente que el radio e el conjunto de puntos resultante es una bola abierta.

Bolyai, Janos

Bolzano, Bernhard

Filósofo y matemático de la antigua Checoslovaquia (1781-1848). Se le considera el precursor de las teorías de Cantor por su obra "Paradojas del Infinito".

Bolzano-Weierstrass, teorema de

Boole, George

booleano, anillo

booleano, retículo

Retículo distributivo y complementario (también llamado álgebra de Boole).

Borel, Émile Félix Edouard Justin

Borel-Lebesgue, teorema de

boreliano

Una parte de un espacio topológico E se llama boreliana o se dice que es un boreliano si pertenece al anillo de conjuntos generado por los abiertos de E.

Bourbaki, Nicolás

Nombre que corresponde a un colectivo de matemáticos franceses especialistas en distintas ramas de las Matemáticas. La edad tope es de 50 años por lo que existe una continua renovación de sus miembros. Entre otros han participado H. Cartan, C. Chevalley, J. Dieudonné y A. Weil. Su objetivo es el de recrear la Matemática partiendo de unos principios totalmente lógicos. Han publicado una obra Ëléments de Mathématique" compuesta de varios tomos y en la que van desarrollando su trabajo matemático.

Briggs, Henry

Brouwer, Luitzen Egbertus Jan

Matemático y lógico holandés (Overschie, 1881-Blaricum, 1966). Conocido sobre todo por ser fundador del intuicionismo. Trabajos sobre topología y geometría diferencial.

Burnside, Willian Snow