C
|
Tercera letra del
abecedario de mayúsculas que se suele emplear para distinguir la
constante de integración en las integrales indefinidas.
En la enumeración romana vale 100.
En Geometría, representa a la Hipotenusa de un tríangulo
rectángulo |
c
|
Tercera letra del
abecedario de minúsculas que se utiliza para representar a una constante,
como por ejemplo la ordenada al orígen en la ecuación de una
parábola y = ax2 +bx +c |
C
|
Tercera letra del
abecedario gótico alemán, que se utiliza para representar al campo de
los números complejos o la potencia del continuo.- |
cambio, matriz de
|
Dado un espacio vectorial E de
dimensión finita n > 0 sobre un
cuerpo conmutativo K
y dadas dos bases de dicho espacio B1 = (e1,
e2, ...,en), B2 =
(u1,
u2, ...,un), se llama matriz de
cambio de base de B1 a B2 a la
matriz asociada a la aplicación identidad de E respecto a las
bases B2
y B1 (nótese el orden). Las columnas de esta matriz
corresponden a las componentes de los vectores de la base B1
en la base B2. |
camino
|
Sea E un espacio topológico. Un camino en E
es toda aplicación continua f del intervalo unidad
real [0,1] en E. El punto f(0) se llama origen
del camino y el punto f(1) extremo o final. Cuando
para cada par de puntos de un espacio topológico existe la posibilidad de
construir un camino de E que tenga por origen a uno de ellos y por final
al otro, se dice que el espacio topológico E es arcoconexo. |
campana, curva de
|
Es la curva que corresponde al gráfico de la función
de densidad de Gauss.
|
campo de vectores
|
Sea A un espacio afín asociado a un espacio
vectorial E. Toda aplicación de una parte S de A con
valores en E se llama campo de vectores.
|
canónico
|
Recibe el nombre de canónico todo ente matemático
asociado de manera especial con una estructura.
|
Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Phillip
|
Matemático ruso-alemán (San Petesburgo, 1845-Halle,
1918). Estudio en Zurich, Berlín y Götingen y recibió el título de doctor en
la universidad de Halle, en la que obtuvo la cátedra de matemáticas. Los
primeros trabajos que publicó sobre la teoría positiva del infinito causaron
una verdadera revolución. Siguió trabajando en el tema hasta crear una aritmética
de los números infinitos y su célebre teoría de conjuntos ha servido de base
para el análisis moderno. Sus teorías encontraron una fuerte oposición entre
los matemáticos de su época.
|
Cantor, teorema de
|
Sea E un conjunto dado. El teorema de Cantor
afirma que no hay ninguna aplicación inyectiva de dicho conjunto en el conjunto
de sus partes. De este teorema resulta que no hay un conjunto del cual todo
conjunto sea una parte, ni un conjunto del cual todo conjunto sea elemento.
También se deduce que para todo cardinal existe otro cardinal estrictamente
superior.
|
Cantor-Bernstein, teorema de
|
Sean E y F dos conjuntos. Si existe una
aplicación inyectiva de E en F y otra de F en E,
entonces existe una biyección entre ambos de lo que se deduce que tienen el
mismo cardinal (son equipotentes).
|
caótica, topología
|
Véase trivial,
topología.
|
cara
|
Sea A un espacio afín de dimensión n y
supongamos que P es un poliedro convexo. Se llama (n-1)-cara de P
a la intersección de P con todo hiperplano de apoyo H, tal que la
variedad lineal afín generada por tal intersección coincide con H.
|
carácter
|
Sea G un grupo conmutativo, localmente
compacto. El carácter de G es un homomorfismo continuo c
de G en el grupo conmutativo U de los números complejos de módulo
uno.
|
característica
|
Sea K un cuerpo conmutativo y sea Z el
conjunto de los enteros. La aplicación f:Z ®
K definida por f(n) = n e, donde e es
la unidad de K es un homomorfismo de anillos. El núcleo de tal
homomorfismo es un ideal y el generador de este ideal recibe el nombre de
característica de K. Su valor será 0 o un número primo.
|
característica, función
|
Sea E un conjunto y sea S una parte de
dicho conjunto. Se llama función característica de S a la aplicación IS
:E® {0,1} que toma el valor 0 en cada
elemento que no pertenece a S y 1 en cada elemento que pertenece a S.
|
característica de una variable aleatoria, función
|
Sea X una variable aleatoria. Su función
característica fX es la
transformada de Fourier de la ley de probabilidad de dicha variable aleatoria.
Es decir, para cada u Î R es fX(u)
la esperanza de e-2i pu X.
|
característico, determinante
|
Consideremos un sistema de m ecuaciones
lineales con n incógnitas:
|
a11x1+a12x2+
...+ a1nxnxn |
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a21x1+a22x2+
...+ a2nxnxn |
|
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|
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(1) |
am11x1+am22x2+
...+ amnxn |
|
|
|
|
|
|
Supongamos también que el rango r de dicho
sistema es no nulo y estrictamente inferior a m (0
< r < m). Sea la matriz A
la matriz de los coeficientes del sistema y sea A¢
la matriz que se obtiene adjuntando a la matriz de los coeficientes el vector
columna de los coeficientes b = (b1,b2,
..., bm)T (matriz ampliada). Consideremos
una matriz principal P extraída de A. El determinante característico
de P es el determinante de la matriz que se obtiene al adjuntar a P
una fila tomada entre las no principales y una columna de b. Como toda
matriz principal es cuadrada y con rango r, entonces hay m-r
determinantes característicos asociados a P.
|
característico, polinomio
|
Sea A una matriz cuadrada de orden n con
entradas de un cuerpo conmutativoK. La matriz característica de A
es el elemento xIn-A, donde In es la
identidad de orden n y x es una variable. Este elemento pertenece
al conjunto de las matrices cuadradas con entradas del anillo de polinomios K[x].
El determinante de xIn-A es un polinomio que se llama
característico de A. Cuando consideramos un endomorfismo f de un
espacio vectorial E de dimensión n y una base B de E,
el polinomio característico de la matriz de f respecto a B, MB(f),
se llama polinomio característico de f ya que no depende de la base
considerada y puede asignarse con exclusividad al endomorfismo. |
característico, punto |
Véase
envolvente.
|
Cardano, Hieronimo
|
Médico, astrólogo, poeta y matemático italiano (Pavía,1501-Roma,
1576). Su obra más importante es el Ärs Magna" donde propone un método
de resolución de la ecuación de tercer grado que lleva su nombre. Tal método
es hallazgo de Nicolo Tartaglia y fue comunicado por éste a Cardano bajo
juramento de secreto. Sin embargo, Cardano vulneró este secreto y publicó los
hallazgos en su propia obra.
|
Cardano, método de
|
Método de resolución de la ecuación de tercer grado
x3+p x+q = 0, que consiste en la
introducción de variables auxiliares u y v de forma que u+v
= x. El problema se reduce entonces a determinar u3 y v3
conocidas su suma y su producto. |
cardinal
|
Se dice que un ordinal a es
un cardinal si existe algún ordinal equipotente a a
y estrictamente contenido en a. Para todo conjunto E
existe un único cardinal equipotente a E que se nota por Card (E).
La equipotencia de dos conjuntos es equivalente a la igualdad de sus cardinales. |
Cartan, Élie Joseph
|
Matemático francés (Dolomieu, 1869-París, 1951).
Trabajos sobre variedades diferenciables, topología algebraica, grupos de Lie y
geometría. Creador, al mismo tiempo que H. Poincaré, del cálculo diferencial
exterior. Autor de la teoría de espinores. |
Cartan, Henri Paul |
Matemático francés, hijo de Élie Joseph Cartan
(Nancy,1904). Miembro fundador del colectivo Bourbaki. Sus trabajos versan sobre
funciones de una variable real y, fundamentalmente, funciones de varias
variables complejas sobre espacios analíticos. También tiene contribuciones
fundamentales al álgebra homológica. |
cartesiana, forma
|
Para todo número complejo z existe un único
par de números reales (x,y) tal que x+i y = z.
Ese par de números reales expresa z en forma cartesiana, siendo x
la parte real e y la parte imaginaria de z.
|
cartesianas, coordenadas
|
Véase cartesiano, sistema de
referencia.
|
cartesiano, sistema de referencia
|
Consideremos un espacio afín A asociado a un
espacio vectorial E de dimensión finita y no nula. Se llama sistema de
referencia cartesiano o sistema de coordenadas cartesianas al par formado por un
punto O de A y una base B = (e1,e2,
..., en) de E. Para todo punto P de A
el vector O P se escribe de forma única como combinación lineal
de los vectores de la base B. Los escalares de esta combinación lineal
son las coordenadas cartesianas del punto P. Si n = 2 el primer
escalar obtenido se llama abscisa y el segundo ordenada. Si n = 3 los dos
primeros escalares reciben los mismos nombres que para n = 2 y el tercero
se llama cota. |
casi compacto |
Un espacio topológico E es casi compacto si de
todo recubrimiento abierto de E se puede extraer un subrecubrimiento
finito. |
casi por todo |
Si (E, m) es un
espacio de medida y p una proposición, decimos que p es cierta
casi por todo E si es falsa sólo para un conjunto de puntos de E
de medida nula. |
Cassini, Giovanni, Domenico |
Astrónomo italiano (Perinaldo, Niza, 1625-París,
1712). Primer director del observatorio de París. Descubrió cuatro satélites
de Saturno y la división oscura del anillo que lleva su nombre. Midió la
distancia de Marte a la Tierra y descubrió la luz zodiacal. |
Cassini, óvalo de
|
Conjunto de puntos de un plano afín euclídeo cuyas
distancias a dos puntos dados tienen producto constante. |
categoría
|
Los elementos de una clase son objetos de una categoría
A y se nota entonces la clase por Ob (A) cuando se cumplen las
condiciones siguientes:
- Para todo par (A,B) de elementos de Ob(A)
existe un conjunto que se nota por Mor(A,B).
- Para toda terna (A,B,C) de elementos de Ob(A)
existe una aplicación de Mor (A,B)×Mor (B,C)
en Mor (A,C) que se nota por (f,g) ®
g·f.
- Los conjuntos Mor (A,B) y Mor (A¢,B¢)
son disjuntos a menos que A = A¢ y
B = B¢.
- Para todo objeto A de A existe un elemento I
de Mor (A,A) de forma que para todo B de A y
para todo elemento g de Mor (A,B) y para todo elemento h
de Mor (B,A) se cumplen las igualdades g·I = g,
I·h = h.
- Para todo A,B,C,D de A y para
todo f de Mor (A,B),g de Mor (B,C)
y h de Mor (C,D) es (h·g)·f = h·(f·g).
El conjunto Mor (A,B) se llama conjunto
de los morfismos de A en B. Como ejemplos de categorías tenemos
la de los conjuntos cuyos objetos son los conjuntos y los morfismos las
aplicaciones entre éstos.
|
categórica, teoría |
Una teoría es categórica cuando todos sus modelos
son isomorfos.
|
catenaria |
Curva plana de ecuación y = coshx.
Corresponde a la posición de equilibrio de un hilo con peso y sin radio
suspendido en sus extremos. |
Cauchy, Agustín Luis |
Matemático francés (1789-1857). Estudió en el Politécnico
y en la Escuela de Ingenieros Civiles. Enseñó en París desde 1816 hasta su
muerte, aunque en los años 1830 a 1838 se trasladó a Italia (por su exilio político)
y enseñó en Turín, después se trasladó a Praga. Contribuyó a la autonomía
del Análisis implantado unos métodos más rigurosos que aún siguen empleándose
en la actualidad; creó la teoría de las funciones de variable compleja;
estableció la distinción fundamental entre series convergentes y divergentes.
Son importantes sus numerosos trabajos publicados en Análisis Matemático.
|
Cauchy, criterio de |
Para que una sucesión de elementos de un espacio métrico
completo (E,d) sea convergente es necesario y suficiente que sea
una sucesión de Cauchy. De esta manera el criterio de Cauchy permite
caracterizar las sucesiones convergentes de un espacio métrico completo sin
necesidad de conocer su límite. El criterio de Cauchy también se puede aplicar
al estudio de las series. Así si tenemos un grupo G conmutativo
metrizable y completo con notación aditiva podemos asegurar que una serie de término
general (xn) y sumas parciales enésimas Sn
es convergente si y sólo si para todo entorno V de 0 en G es
posible hallar un entero positivo n tal que para todo par de enteros (p,q)
mayores o iguales que n la diferencia de las sumas parciales Sp
- Sq pertenece a V. Si en lugar de una sucesión
tomamos una familia (xi)iÎ
I el criterio de Cauchy nos dice que para que tal familia sea
sumable en G es necesario y suficiente que para todo entorno V de
0, exista una parte finita J del conjunto de índices I, de manera
que siK es otra parte finita de I disjunta con J, la suma åi
Î Kxixi
pertenece a V. También el criterio de Cauchy se aplica a la convergencia
de las sucesiones y series funcionales.
|
Cauchy, problema de |
Véase
diferencial, ecuación. |
Cauchy, regla de |
Regla de convergencia para las series numéricas. Dada
una sucesión (xn) de números reales positivos tal que su raíz
enésima [nÖ(xn)]
tiene por límite a. Si a
es menor que 1 la serie converge y si es mayor que 1 la serie diverge. En el
caso de que sea igual a 1 no se puede asegurar nada. |
Cauchy, sucesión de |
Sea (E,d) un espacio métrico. Una
sucesión (xn) de elementos de E es de Cauchy si para
todo real e estrictamente positivo podemos hallar un
entero positivo n tal que para todo para de enteros p,q
mayores o iguales que n entonces d(xp,xq)
< e. En el caso de un grupo G topológico conmutativo la
definición es similar. Se dice que una sucesión (un) de
puntos de G es de Cauchy si para todo entorno V de 0, existe un
entero positivo n de forma que para todo par p y q de
enteros mayores o iguales que n se cumple que xp - xq
pertenece aV. Toda sucesión convergente es de Cauchy pero el recíproco
no es cierto. En el caso de que toda sucesión de Cauchy sea convergente se dice
que el espacio es completo. |
Cauchy-Lipstchiz, teorema de |
Sean E un espacio de Banach y f una
aplicación continua definida en un abierto U del producto cartesiano R
×E en E. Suponemos que f es localmente lipschitziana
respecto a la segunda variable. Es decir, para todo elemento yÎ
E existen dos números reales estrictamente positivosa,
b tales que si (x,y1),(x,y2)
son dos elementos de R ×E que cumplen ||y1-y||
£ a y||y21-y
|| £ a
se tiene que ||f(x,y1)-f(x,y2)||
£ b||y1-y2||.
Entonces podemos asegurar que para todo (x0,y0)
perteneciente a U, la ecuación diferencial [(dy)/( dx)] = f(x,y)
admite una solución maximal única f con la condición
inicialf(x0) = y0.
El maximal se considera como tal en el orden definido por la relación de
prolongación.
|
Cauchy-Schwarz, desigualdad de
|
Véase convexidad, desigualdades
de.
|
Cavalieri, Francesco Bonaventura
|
Matemático italiano (Milán, 1598-Bolonia, 1647).
Ingresó muy joven en la orden de los jesuitas y se interesó por las matemáticas
a raíz de sus lecturas de los trabajos de Euclides y sus contactos con Galileo.
Su trabajo más interesante es un curioso método geométrico (teoría de los
indivisibles) que permitía el cálculo de áreas y volúmenes con resultados
correctos a pesar de no tener un fundamento riguroso. También contribuyó a la
introducción de los logaritmos en Italia.
|
Cayley, Arthur
|
Abogado y matemático inglés (Richmond, 1821-Cambridge,
1895). Autor del cálculo matricial y de la definición de grupo finito. También
tiene aportaciones fundamentales en Geometría.
|
Cayley-Hamilton, teorema de
|
Sea E un espacio vectorial de dimensión finita
no nula sobre un cuerpo conmutativo K. Todo endomorfismo de E
anula a su polinomio característico. Es decir, el polinomio mínimo de un
endomorfismo f divide al polinomio característico de f. |
centrada, variedad aleatoria
|
Variable que admite una esperanza igual a 0. |
central, elemento
|
Véase
centro.
|
central, proyección
|
Sea E un espacio vectorial normado y real. La
proyección p central es la aplicación de E-{0} en la bola unidad
de E definida por p(x) = [1/( ||x||)]x.
|
centralizador
|
Sea E un monoide y sea F un subconjunto
de E. El centralizador de F es el conjunto de elementos de E
que conmutan con todos los elementos de E.
|
centro |
El centro de un monoide E es el centralizador
de E. Es decir, se trata del conjunto de elementos de E que
conmutan con todos los de E. Cada uno de los elementos del centro se
llaman centrales. Cuando E es un grupo su centro es un subgrupo normal y
cuando E es un anillo se considera como monoide respecto al producto y se
aplica la definición al producto. El centro de un anillo es un subanillo. |
centro, cónica con
|
Cónica propia de un plano afín real que admite un
centro de simetría. Las cónicas con centro son la elipse y la hipérbola.
|
centro de gravedad
|
Véase
baricentro.
|
cero |
Consideremos un cuerpo conmutativo K y sea P(x)
un elemento de las fracciones racionales con coeficientes en K. Se dice
que un elemento a Î K
es un cero de P(x) si es sustituible en dicha fracción y además
la función racional asociada se anula en a. En tal
caso, la valoración de P(x) en el punto a
es un entero estrictamente positivo cuyo valor se llama multiplicidad de a.
En el caso de que P(x) sea un polinomio coinciden los conceptos de
cero y raíz. También se emplea el término cero para las funciones analíticas.
Concretamente, sea f una función analítica definida sobre un abierto D
y sea z0 un punto de D. Podemos asegurar que existen un
entero no negativo n y una función analítica f1 en un
entorno de z0 tales que f(z) = (z-z0)nf1(z),
siendo f1(z0) ¹
0. Si n = 0 entonces z0 no es un cero de f. Si n
> 1 entonces z0 es un cero de f de
multiplicidad n. |
cerrada, aplicación
|
Dados E y F espacios topológicos, una
aplicación continua entre ellos f:E® F
es cerrada si la imagen por f de todo cerrado de E es un cerrado
de F.
|
cerrada, forma diferencial
|
Dados un abierto U de un espacio vectorial n-dimensional
sobre R y un entero r estrictamente positivo, se dice que una
forma diferencial w sobre U de grado p
y de clase Cr es cerrada si su diferencial exterior dw
es nula.
|
cerrado
|
Una parte C de un espacio topológico E
es una parte cerrada o un cerrado si su complementario es abierto. Para que una
parte sea cerrada es necesario y suficiente que coincida con su adherencia o
bien que contenga a todos sus puntos de acumulación. La intersección de toda
familia de cerrados es un cerrado. La unión finita de cerrados es un cerrado.
La parte vacía y la parte total son cerrados.
|
cerrado, algebraicamente
|
Un cuerpo conmutativo K es algebraicamente
cerrado si todo polinomio no constante con coeficientes en K tiene al
menos una raíz en K.
|
cerrado, arco
|
Arco geométrico cuyos extremos coinciden.
|
Cesaro, Ernesto
|
Matemático italiano (Nápoles, 1859-Torre Annunziata,
1906). Estudió en Nápoles, donde conoció a Catalan. Sus principal aportación
se inscribe en el marco de la geometría diferencial. Asimismo trabajó en temas
de teoría de números, series y física matemática.
|
Cesaro, suma de
|
Se dice que una sucesión (an) es
sumable Cesaro y que la suma de Cesaro es s si
|
lim
n® ¥
|
|
x1+x2+
...+ xn
n
|
= s. |
|
(2) |
|
Ceva, Giovanni
|
Matemático italiano (Milán, 1647-Mantua, 1743). Se
educó en un colegio jesuita de Milán y estudió en la universidad de Pisa.
Descubridor de importantes resultados geométricos y estudió las aplicaciones
de la mecánica y la estática a los sistemas geométricos. Otros trabajos
relevantes los realizó en el campo de la hidrodinámica.
|
Ceva, teorema de
|
Sean A,B y C tres puntos
distintos de un plano afín y sean a, b
y g tres puntos de las rectas determinadas por B
C,C A y A B, respectivamente. Para que las
rectas afines A a, B b
y C g sean concurrentes es necesario y
suficiente que se cumpla la relación
|
Chasles, igualdad de
|
Para toda terna (A,B,C) de puntos
de un espacio afín, se cumple AB +BC = AC.
|
Chasles, Michel
|
Matemático francés (Epernon, 1793-París, 1880).
|
Chebichev, desigualdad de
|
Sea X una variable aleatoria definida sobre un
espacio probabilístico (W,A,P) y
admitiendo una esperanza E(X) y una desviación típicas.
Se cumple que para todo número real e > 0, la
probabilidad de que la diferencia del valor de X y su media E(X)
sea en valor absoluto superior o igual a e es
inferior o igual a [(s2)/( e2)].
Es decir,
|
Chebichev, Pafnouty Lvovich
|
Matemático ruso (Okatovo, 1821-San Petesburgo, 1894).
Trabajos sobre números primos, formas cuadráticas, funciones ortogonales,
aproximación de funciones continuas por polinomios y cálculo de
probabilidades.
|
Chebichev, polinomios de
|
Son aquellos polinomios Pn que
verifican para todo x real Pn(x) = cos(nx),
siendo n un entero no negativo. El polinomio Pn es
solución de la ecuación diferencial (1-x2) y¢¢-x
y¢+ n2y = 0.
|
cíclico, grupo
|
Un grupo es cíclico cuando es monógeno (generado por
un sólo elemento) y además finito.
|
cíclico, punto
|
Los puntos del plano proyectivo P2(C)
de coordenadas homogéneas (1,i,0) y (1, -i,0) se llaman puntos cíclicos.
|
ciclo
|
Sea X un conjunto finito. Una permutación s
de X es un ciclo si podemos hallar una órbita única O asociada a
s en la actuación natural del grupo simétrico de
las permutaciones de X sobre X tal que su cardinal sea mayor o
igual que 2. Esta órbita se llama soporte de s y su
cardinal longitud de s. Se demuestra que toda
permutación se descompone de forma única en producto de ciclos con soportes
disjuntos dos a dos.
|
cicloidal, curva
|
Curva plana que admite una representación del tipo
Si m > 0 entonces
se llama epicicloide y sei m < 0 se dice
hipocicloide. En ambos casos se trata de la curva descrita por una
circunferencia que rueda sin deslizar sobre otra circunferencia
|
cicloide
|
Curva plana que admite por
representación paramétrica
Se trata de la curva descrita por un punto de una
circunferencia cuando ésta rueda sin deslizar sobre una recta.
|
ciclotómico, polinomio
|
Dado un entero n estrictamente positivo, se
llama polinomio ciclotómico de índice n al polinomio Fn
= Õi = 1h (x-z),
cuyas raíces son las h raíces primitivas n-ésimas de la unidad
en el cuerpo de los números complejos.
|
cifra
|
Véase numeración
|
cilíndricas, coordenadas
|
Sea A un espacio afín euclídeo de dimensión
3 y orientado. Sea (0,i, j,k) una referencia ortonormal
directa en A y sea P un punto de A. Un sistema de
coordenadas cilíndricas de P es toda terna (r,q,
z) de número reales tal que O M = r(cos(q)
i +sin(q)j)+ x k.
|
cilindro
|
Consideremos un espacio afín A asociado a un
espacio vectorial E de dimensión 3 y sea r una recta de E.
Se llama cilindro de dirección r a la superficie C que resulta
invariante por las traslaciones de vector colineal con r. Las rectas
afines de C con dirección r se llaman generatrices del cilindro.
La base de C es la sección resultante de un plano afín que corte a
todas las generatrices.
|
circulación
|
Sea E un espacio vectorial normado y de dimensión
finita sobre el cuerpo de los números reales. Sea U un abierto de E
y sean w una forma diferencial continua sobre U
y f:[a,b] ®E un arco
parametrizado regular de orden 1 cuyo soporte está contenido en U.
Entonces la integral
depende sólo del arco geométrico orientado G
asociado al arco parametrizado f(t) y se llama integral curvilínea
de w sobre dicho arco, notándose òGw.
En el caso de que el espacio vectorial normado E sea también euclídeo,
entonces w se identifica con un campo de vectores V
y la integral curvilínea òG w
se llama entonces circulación del campo de vectores V a lo largo de G.
|
circular, curva
|
Dícese de la curva algebraica proyectiva y compleja
que pasa por los puntos cíclicos.
|
circular, exponencial
|
Véase
exponencial.
|
circular, hélice
|
Hélice formada en un cilindro de revolución
relativamente a su eje. En coordenadas cilíndricas tiene la expresión:
El valor b/a se llama paso de la hélice. Las hélices
son arcos alabeados regulares de orden 3 con curvatura y torsión constantes.
|
circular, permutación
|
Una permutación s de
{1,2,..., n} es circular cuando existe un natural p estrictamente
inferior a n tal que
|
s(i)
= p+i si i Î
{1,2, ..., n-p} |
|
s(i)
= p+i-n si iÎ
{n-p, ..., n} |
|
(9) |
|
|
|
El conjunto de las permutaciones circulares de {1,2,
..., n} forman un subgrupo cíclico de orden n del grupo simétrico
de {1,2, ..., n}.
|
círculo
|
Disco cerrado del plano euclídeo.
|
circunferencia
|
Sea E un plano euclídeo dotado de una
referencia cartesiana normal. La circunferencia de E de radio r y
centro el punto de coordenadas (x0,y0) es el
lugar geométrico que admite por ecuación (x-x0)2+(y-y0)2
= r2.
|
circunscrita, circunferencia
|
Dado un polígono P de un plano afín euclídeo
se dice que una circunferencia está circunscrita a P si pasa por todos
los vértices de P. Si tal circunferencia existe es única y se dice que P
es inscriptible.
|
cisoide
|
Curva cúbica circular con un único punto de
retroceso. La cisoide se llama recta cuando admite un eje de simetría y en tal
caso su ecuación en coordenadas polares es de la forma
|
Clairaut, Alexis Claude
|
Matemático francés (París, 1713-París, 1765). Hijo
de otro matemático, Jean Baptiste Clairaut que lo educó personalmente y
despertó su precoz inteligencia. Trabajó en el cálculo de variaciones, el
problema de los tres cuerpos, la hidrostática y participó en una famosa
expedición organizada con el objetivo de medir la forma de la Tierra, al final
de la cual publicó un libro con sus conclusiones.
|
Clairaut, ecuación de
|
Ecuación diferencial de la forma y = xy¢+a(y¢).
Es un caso particular de las llamadas ecuaciones de Lagrange.
|
clan
|
Un conjunto de partes de W
es un clan si es no vacío y estable por la unión finita y la diferencia. Sinónimo
de clan de conjuntos es anillo de conjuntos. La intersección de una colección
de clanes que contienen a una parte dada SÌ W
también es un clan que se llama generado por S.
|
clase Cp
|
Consideremos dos espacios vectoriales E y F
normados sobre un mismo cuerpo (R o C). Sea f una aplicación
definida sobre un abierto no vacío U de E y con valores en F.
Si f es continua en U se dice que es de clase C0,
si es p veces diferenciable con continuidad en U se dice que es de
clase Cp. Si es indefinidamente diferenciable con continuidad
se dice que es de clase C¥.
|
clase de equivalencia
|
Sea R una relación de equivalencia en un
conjunto E. Se llama clase de equivalencia de un elemento x Î
E respecto de R al conjunto de elementos de E equivalentes
a ese x. Se escribe entonces [x] o `x
para denotar a la clase en cuestión. Todo elemento de E pertenece a una
y sólo una clase de equivalencia y dos elementos que pertenezcan a una misma
clase de equivalencia son equivalentes entre sí. Las clases de equivalencia de
los elementos de E forman una partición de dicho conjunto.
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clases, teoría de
|
Sistema formal propuesto en principio por Von Neumann
en 1926 y mejorado posteriormente por Bernays en 1937 que evita las paradojas clásicas
de la teoría de conjuntos. En esta teoría un conjunto es definido como un tipo
particular de clase: aquella que no pertenece a otra clase. Se ha demostrado que
una proposición que tenga en cuenta sólo a conjuntos es demostrable en esta
teoría de clases si y sólo si lo es en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.
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clausura
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Sinónimo de adherencia.
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Clifford, William Kingdon
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Matemático y filósofo inglés (Exeter,1845-Madeira,
1879). Estudió en el King's College, donde destacó en matemáticas, literatura
y gimnasia. A los 18 años entró en el Trinity College de Cambridge. Trabajó
en geometría no euclidiana y amplió la teoría de cuaterniones. Abarcó
aspectos docentes, investigadores y filosóficos de las matemáticas con gran
originalidad.
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cocíclicos, puntos
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Puntos que pertenecen a una misma circunferencia.
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cociente
|
Consideremos un monoide conmutativo con ley
multiplicativa. Si a es un elemento inversible de dicho monoide, entonces
la ecuación a x = b tiene una única solución x = a-1b
que se llama cociente de b y a y se puede escribir como b/a.
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cociente, aplicación
|
Sean E y F dos conjuntos. Supongamos que
R es una relación de equivalencia definida en E y que f:E
® F es una aplicación compatible con la
relación R. Se llama aplicación cociente a la aplicación g del
conjunto cociente E/R en F que asocia a cada clase `(x)
la imagen f(x).
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cociente, conjunto
|
Consideremos un conjunto E dotado de una relación
de equivalencia R. El conjunto de todas las clases de equivalencia
determinadas por tal relación se llama conjunto cociente de E por R
y se nota por E/R.
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cociente, ley
|
Sean E un conjunto, R una relación de
equivalencia en E y ^ una operación definida
en E compatible con la relación R. La aplicación que a las
clases de equivalencia [x],[y] hace corresponder la clase de [x
^y] es una ley de composición sobre el
conjunto cociente E/R que se llama ley cociente. En el caso de que
E sea un grupo con la ley ^ se demuestra que E/R
es también un grupo con la ley cociente. Tal grupo se llama cociente de E
por R. También si el conjunto E es un anillo o un espacio
vectorial y las leyes son compatibles con la relación R se obtienen
anillos o espacios vectoriales cocientes con las leyes cocientes respectivas.
|
codimensión
|
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo
conmutativo K. Se dice que un subespacio S de E es de
codimensión finita si el espacio vectorial cocienteE/S es de
dimensión finita sobre K. La dimensión de E/S es entonces
la codimensión de S en E y se nota por codim S.
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coeficiente
|
Véase formal,
serie; Fourier, serie de; polinomio.
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cofactor
|
Sea A = (aij) una matriz
cuadrada de orden n > 1 con entradas de un
cuerpo conmutativo K. Se llama cofactor del elemento aij
al escalar
donde (Aij) es el menor asociado a
la entrada (aij).
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Cohen, Paul Joseph
|
Matemático norteamericano (Long Branch, 1934). Trabajó
en Análisis, pero la fama la obtuvo gracias a su demostración de la
independencia de la hipótesis del continuo y del axioma de elección del resto
de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, en 1963, cerrando así la historia del
problema del continuo de Cantor.
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coimagen
|
Dada una aplicación lineal f:E ®
F de un espacio vectorial E en otro F, designamos por Ker(f)
a su núcleo. El espacio vectorial cociente E/ Ker(f) se llama
coimagen de f y se nota por Coim (f).
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colectivizante
|
Una relación R(x) se dice
colectivizante respecto a u si podemos hallar un conjunto E tal
que u pertenece a E si y sólo si R(u).
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columna
|
Véase
matriz.
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comatriz
|
Sea A = (aij) una matriz
cuadrada de orden n > 1 con entradas en un
cuerpo conmutativo K. Se llama comatriz de A a la matriz cuadrada B
= (bij) de orden n cuyos elementos bij
son los correspondientes cofactores de los aij. La transpuesta
BT de la comatriz de A se llama matriz complementaria
de A y verifica la relación BT A = ABT
= det (A) In.
|
combinación
|
Sea E un conjunto finito con cardinal n ³
1y sea p £ n. Se llama combinación de
p elementos de E o combinación de elementos de E tomados
de p en p a todo subconjunto de E que tenga p
elementos. El número de combinaciones de p elementos de E es
igual a C(n,p).
|
combinatoria
|
Parte de las matemáticas que tiene por objeto el
estudio de los problemas de cantidad de elementos. Es decir, se ocupa de
determinar el número de elementos de un conjunto finito que cumplen ciertas
condiciones.
|
compacta, aplicación lineal
|
Sean E y F dos espacios vectoriales
normados sobre R o sobre C. Una aplicación lineal f:E
® F se dice compacta si la imagen de toda
parte acotada de E es relativamente compacta en F. Esto equivale a
decir que para toda sucesión (xn) acotada de elementos de E
existe una subsucesión (xg(n)(n)) tal
que la sucesión de imágenes por f correspondiente (f(xg(n)(n))
converge en F.
|
compacta, convergencia
|
Consideremos un espacio topológico E y un
espacio métrico (F,d). Sea también el conjunto FE
de las aplicaciones f:E ®F. La
topología definida en FE por las seudométricas
dK :(f,g)
® |
sup
x Î K
|
d(f(x),g(x)) |
|
(12) |
siendo K una parte compacta de E, se
llama topología de la convergencia uniforme sobre todo compacto o topología de
la convergencia compacta. Para que una sucesión (fn) de
elementos de FE converja uniformemente sobre todo compacto de E
hacia una función f es necesario y suficiente que (fn)
converja uniformemente a f en la topología de la convergencia compacta.
|
compactificado
|
Supongamos que E es un espacio topológico
localmente compacto. Se puede adjuntar a E un elemento w,
llamado elemento del infinito, de manera que el conjunto F = EÈ{w}
sea compacto. Para ello se define una topología en F formada por los
abiertos de E y los complementarios en F de las partes compactas
de E. La topología inducida en E por esta nueva topología es la
original de E. El espacio compacto F recibe el nombre de
compactificación de Alexandroff del espacio localmente compacto E.
|
compacto
|
Un espacio topológico E es compacto si es
separado y de todo recubrimiento formado por abiertos de E se puede
extraer un número finito de abiertos que también cubren a E. Esta nueva
colección se llama subrecubrimiento finito. En resumen, un espacio compacto es
un espacio separado y casi compacto.
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compacto, casi
|
Un espacio topológico E se llama casi compacto
si de todo recubrimiento formado por abiertos de E se puede extraer un
subrecubrimiento finito.
|
compacto, localmente
|
Un espacio topológico E separado es localmente
compacto si todo punto de E posee un entorno compacto. Evidentemente,
todo espacio compacto es localmente compacto aunque el recíproco no es cierto.
Así, la recta real es localmente compacta pero no es compacta.
|
compacto, relativamente
|
Un subespacio F de un espacio topológico
separado E es relativamente compacto cuando está contenido en un
subespacio compacto de E. Esto equivale a afirmar que la adherencia de F
es compacta.
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comparable
|
Sea E un conjunto dotado de una relación R
de preorden. Dos elementos x,yÎ E
son comparables si están relacionados entre sí de alguna forma: R(x,y)
o R(y,x).
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compatible
|
Sean E y F dos conjuntos y R una
relación de equivalencia en el primero de ellos E. Una aplicación f:E®
F es compatible con la relación R si la restricción de f
a toda clase de equivalencia es constante.Si además existe una relación de
equivalencia S en el conjunto F, diremos que f es
compatible con R y S si R(x,x¢)
implica S(f(x),f(x¢)).
Esto es, si dos elementos están relacionados por R sus imágenes están
relacionadas por S. La compatibilidad también se extiende a las
operaciones. Así si R es una relación de preorden en E y ^
es una ley de composición en E, se dice que R es compatible con ^
si las relaciones R(x,x¢), R(u,u¢)
implican R(x ^u, x¢^u¢).
|
complejo, espacio vectorial
|
Espacio vectorial sobre el cuerpo de los números
complejos.
|
complejo, número
|
En el espacio vectorial real R2 se
define un producto mediante (x,y) (x¢,y¢)
= ( xx¢-y y¢,
x y¢+ y x¢).
El conjunto R2 resulta ser un cuerpo conmutativo con esta
multiplicación y además extensión cuadrática. Este nuevo cuerpo se nota por C
y se llama cuerpo de los números complejos. Sus elementos son los números
complejos.
|
complejo, plano
|
Véase numérico,
espacio.
|
complementaria, matriz
|
Véase
comatriz.
|
complementario
|
El complementario de un conjunto F incluido en
otro E es el conjunto de los elementos de E que no pertenecen a F.
Se nota por `(F) o bien por CE
F. Con más precisión se dice que CEF es el
complementario de F relativamente a E.
|
completa, teoría
|
Una teoría es completa cuando para toda proposición P,
o bien P está en la teoría, o bien la negación de P está en la
teoría. Se sabe que toda teoría no contradictoria que contenga los teoremas de
la aritmética como suyos propios y admita un algoritmo que reconozca si una
proposición es un axioma o un teorema, es incompleta.
|
completado
|
Un espacio métrico (E,d) se dice
completado si podemos hallar un espacio métrico completo (^(E)],^(d))
tal que E es un subespacio métrico de ^(E) denso en ^(E).
|
completo
|
Un espacio métrico (E,d) es completo si
toda sucesión de Cauchy en E es convergente en E. Un subespacio métrico
E¢ de E que sea completo es cerrado en
E. Recíprocamente, si E es completo y E¢
es un subespacio cerrado de E, entonces E¢
es completo. Se demuestra que todo espacio vectorial normado de dimensión
finita es completo.
|
complexificado
|
Sea E un espacio vectorial real. El grupo
aditivo E ×E dotado de la ley externa:
(a+ i
b,x, y) ®
(a x -by,
ay+ b
x) |
|
(13) |
es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los
números complejos y recibe el nombre de espacio complexificado de E y
se nota EC.
|
componente
|
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo
conmutativo y sea B = (ei)iÎ
I una base de E. Todo vector x deE se puede
escribir de forma única como
donde li
es una familia de escalares con soporte finito. Los escalares li
se llaman componentes del vector x en la base B.
|
composición, ley de
|
Sea E un conjunto no vacío. Se llama ley de
composición o ley de composición interna a toda aplicación de E ×E
en E. Cuando la ley de composición no es alguna de las usuales o se
razona en genérico se suelen utilizar los símbolos ^,
T o similares.
|
compuesta, aplicación
|
Sean E,F y G tres conjuntos no
vacíos y sean f: E® F y g:F
® G dos aplicaciones. La aplicación
compuesta de f y g se nota por g°f
y está definida mediante g(f(x)) para todos los x Î
E.
|
compuesta, relación
|
Sean R y R¢
dos relaciones. La relación compuesta de R y R¢
se nota por R¢°R y está formada por
el conjunto de pares (x,z) tales que existe un elemento y
que satisface (x,y) Î R, (y,z)
Î R¢.
|
compuesto, polinomio
|
Sea K un cuerpo conmutativo y sea K[x]
el álgebra de los polinomios con una indeterminada y coeficientes en K.
Dado un polinomio Q, existe un único endomorfismo del álgebra unitaria K[x]
que transforma el polinomio x en Q. Tal endomorfismo se obtiene
asociando a todo polinomio P = a0+ a1
x + a2 x2 + ... + an
xn, el polinomio a0+a1Q+a2
Q2 + ... + an Qn. Esta último
polinomio se llama polinomio compuesto de P y Q y se nota por P°Q.
|
concatenación
|
Sea E un conjunto no vacío. Consideremos un
entero positivo n y notemos por Sn el conjunto de las
sucesiones finitas de n elementos formadas por elementos de E. Por
convenio, escribimos también S0 = Æ.
Entonces, construimos el conjunto S = Èn
Î N Sn y se define la
concatenación sobre S como una operación en S dada por las
reglas siguientes: si b= y a S, b a=a
si a= y b S, a b = b
si a=(x_1, x_2, ..., x_n) y b =(y_1, y_2, ..., y_p)
entonces a b = (x_1, x_2, ..., x_n, y_1, y_2, ..., y_p)
El conjunto S con la concatenación es un
monoide llamado monoide libre.
|
cóncava
|
Una función numérica finita f definida sobre
una parte X de un espacio vectorial real se dice que es cóncava si la
función opuesta -f es convexa.
|
concéntricas
|
Se dice de circunferencias, cónicas, esferas, etc.
que tienen el mismo centro.
|
concurrentes, rectas
|
Rectas afines con intersección no vacía.
|
conchoide
|
Sea C una curva plana de ecuación en polares r
= f(q). La conchoide de C es la unión
de las curvas de ecuacionesr = f(q)+k
y r = f(q)-k,
siendo k un número real.
|
condicionada, probabilidad
|
Sean (W, A, P)
un espacio probabilístico y BÎ A un
suceso de probabilidad no nula. La aplicación de A en el conjunto de los
números reales positivos que asocia a cada suceso AÎ
A el valor [(P(AÇB))/(P(B))]
es también una probabilidad sobre W llamada
probabilidad condicionada a B y notada por PB. Las
principales propiedades de la probabilidad condicionada son: A B P_B(A)=1
Para todo (A,B) ^2, P(A B)=P(B) P_B(A) = P(A) P_A(B)
Si (B_i)_1 i n es un sistema completo de sucesos P(A)=_I=1^n P(B_i)P_B_i(A)
Si P(A) 0, P_A(B_j)=P(B_j)P_B_j(A) _i=1^n P(B_i)P_B_i(A).
|
conexa, componente
|
Sea E un espacio topológico. Sea x un
elemento de E. Consideremos el conjunto C de las partes conexas de
E que contienen a x. La unión de todos los elementos de C
es un conjunto conexo que llamamos componente conexa dex.
|
conexo
|
Un espacio topológico E se llama conexo si no
es unión de dos abiertos no vacíos y disjuntos. Esto equivale a decir que E
no es unión de dos cerrados disjuntos, que las únicas partes a la vez abiertas
y cerradas son el vacío y el propio E o que toda aplicación localmente
constante de E en otro espacio topológico F es constante. Una
parte P de un espacio topológico es conexa si lo es como subespacio
topológico.
|
conexo, localmente
|
Un espacio topológico E es localmente conexo
si todo punto de E tiene una base de entornos conexos. Todo espacio
vectorial topológico es localmente conexo.
|
conexo, simplemente
|
Un espacio topológico E es simplemente conexo
si es arco conexo y todo lazo de E es homótopo a un lazo puntual.
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congruencia
|
Sea M un módulo sobre un anillo A y sea
T un submódulo de M. Se dice que dos elementos x,y ÎM
son congruentes módulo F y se nota x ºy
\mod F si y sólo si x-y pertenece a F.
|
cónica
|
Curva alabeada plana de grado 2. Es decir, se trata de
curvas que admiten una ecuación de la forma
A x2+
2 B x y + Cy2 + 2 D
x + 2 D y + F = 0 |
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(15) |
|
conjetura
|
Proposición que se supone cierta pero no está
demostrada.
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conjugados, elementos
|
Sea A un anillos y sea f
un automorfismo de A. La imagen por f de un
elemento a ÎA se llama conjugado de a.
Cuando f es involutivo, el conjugado de f(a)
es a. Como ejemplo de automorfismo involutivo tenemos la aplicación que
a todo número complejo z = a+ib asocia el número complejo
[`(z)] =a-i b. Si G
es un grupo multiplicativo, se dice que dos elementos x,y Î
G son conjugados si existe un elemento a de G tal que y
= a xa-1. Esta idea puede extenderse a los subgrupos,
así dos subgrupos H y J son conjugados si existe a Î
G tal que J = aH a-1.
|
conjugados, espacios vectoriales
|
Consideremos un espacio vectorial E sobre el
cuerpo de los números complejos. La ley externa (`(a),
x) ®`(a) x
permite considerar al grupo aditivo de E como un nuevo espacio vectorial
sobre C que denominamos espacio vectorial conjugado de E y notamos
por `(E).
|
conjunta, ley
|
Sean X e Y dos variables aleatorias
definidas sobre un mismo espacio probabilístico (W,A,
P). Existe una ley de probabilidad única PX,Y,Y
sobre R ×R, llamada ley conjunta de X e Y, definida
por
PX,Y,Y([a,
+ ¥[ ×[b,+¥[)
= P(X-1([a, +¥[)
ÇY-1([b,
+¥[)) |
|
(16) |
|
conjuntista, medida
|
Sea (E,A) un espacio medible. Una medida
conjuntista sobre E es una aplicación m de A
en R+È{0,+¥}
que verifica las condiciones siguientes:
- para toda sucesión (An) de elementos de A
disjuntos dos a dos, se cumple
m( |
¥
È
n = 0
|
An) = |
¥
å
n = 0
|
m(An); |
|
(17) |
- el conjunto E es unión de una sucesión (Bn)
de elementos de A tales que para todo entero positivo n, m(Bn)
tiene un valor finito.
|
conjuntos, teoría de
|
La teoría de conjuntos fue creada por Cantor por
necesidades del análisis clásico a partir del año 1872. Hasta finales del
siglo pasado la noción de conjunto no parecía necesitar más que una definición
intuitiva. En este sentido, es ilustrativo reproducir la definición de Cantor:
"Por conjunto, se entiende una agrupación en un todo de objetos diversos
de nuestra intuición o de nuestro pensamiento". Sin embargo, la utilización
de los conjuntos sin ideas precisas conduce rápidamente a paradojas. La
paradoja ël barbero afeita a todos los hombres del pueblo que no se afeitan a sí
mismos; pero el barbero, ¿se afeita a sí mismo", considerada al principio
como un problema divertido, provocó una crisis de los fundamentos. En efecto,
bajo una forma matemática, la noción de conjunto de conjuntos formado por
conjuntos que no son elementos de sí mismos es contradictoria. El esfuerzo que
se ha llevado a cabo en la teoría de conjuntos ha conseguido dar una serie de
reglas y definiciones precisas que conservan, en la medida de lo posible, los
resultados de la teoría de Cantor. La primera axiomatización de la teoría de
conjuntos es debida a Zermelo en 1908; fue mejorad más tarde por Fraenkel y
Skolem en 1922 y 1923. Otra axiomatización, debida a Von Neumann, hace
referencia a la noción de clase.
|
conmutador
|
Sea G un grupo multiplicativo y sean x,y
dos elementos de G. Se llama conmutador de x e y al
elemento de G dado por x yx-1 y-1.
|
conmutar
|
Se dice que dos elementos x,y de un
magma (E,^) conmutan cuando x ^y
= y ^x.
|
conmutativo
|
Se dice que una ley de composición ^
definida sobre un conjunto E es conmutativa cuando para todo ,x, y
de dicho conjunto se cumple x ^y = y
^x. Es decir, que todo par de elementos
conmuta. En el caso de tener un magma cuya ley de composición es conmutativa se
dice que el magma es conmutativo o abeliano, si se trata de un grupo se dice
asimismo que es un grupo abeliano o conmutativo. Un anillo es conmutativo cuando
su ley multiplicativa lo es. Del mismo modo, se dice que un álgebra es
conmutativa si su multiplicación lo es.
|
conmutativo, diagrama
|
Sean E,F,E¢,F¢
conjuntos no vacíos y sean f una aplicación de E en F, f¢
una aplicación de E¢ en F¢,
f una aplicación de E en E¢
y F una aplicación de F en F¢.
Se dice que el diagrama es conmutativo cuando f¢°f
= f°f.
|
cono
|
Sea A un espacio afín asociado a un espacio
vectorial real E. Sea P un punto de A se dice que una parte
no vacía C de A es un cono de vértice P si C es
estable por las homotecias de centro P y razón estrictamente positiva.
Las rectas afines de C pasando por P se llaman generatrices de C.
Se llama base de C a la sección de C que resulta cortando todas
las generatrices con un hiperplano afín que no pasa por P. La directriz
del cono C es una curva que corta a todas las generatrices y no pasa por P.
|
conoide
|
Sea A un espacio afín asociado a un espacio
vectorial E de dimensión 3. Sean también r una recta afín de A
y p un plano de E. Se llama conoide de eje r
y plano director p a una superficie C que
resulta de la unión de las rectas afines que cortan a r y son paralelas
a p. Tales rectas se llaman generatrices del conoide
y se dice que la directriz de C es la curva que cortando a todas las
generatrices de C no corta al plano p. Cuando A
es euclídeo y p es ortogonal a r es ortogonal
a p se dice que el conoide es recto.
|
consistente
|
Una teoría es consistente si es imposible derivar de
ella una contradicción, o lo que es equivalente, si existe alguna proposición
que no es derivable de la teoría. Una teoría es inconsistente o contradictoria
cuando no es consistente. Las paradojas de Russel y Burali-Forti, entre otras,
mostraron a fines del siglo pasado que las teorías matemáticas de aquel tiempo
no eran consistentes. Este fue el principio de la llamada crisis de fundamentos
que se cerró con las teorías formales de Zermelo-Fraenkel o de Russell. Sin
embargo, estas teorías admiten proposiciones que no son demostrables ni
refutables, es decir, son teorías incompletas; es más: son incompletables
(teorema de Gödel). Por otra parte, el segundo teorema de Gödel afirma que será
imposible demostrar la consistencia de dichas teorías recurriendo sólo a sus
propios axiomas. Por ejemplo, en 1936 Gerhard Gentzen demostró la consistencia
de la aritmética, pero haciendo uso de axiomas no contenidos en ella ni en
ninguna teoría usual.
|
constante, aplicación
|
Una aplicación f de un conjunto E en un
conjunto F es constante si y sólo si para todo par de elementos x,y
Î E se tiene que f(x) = f(y).
Es decir, existe y Î F tal que su
imagen inversa es todo E.
|
constante, aplicación localmente
|
Sea f una aplicación de un espacio topológico
E en un conjunto F. Se dice que f es localmente constante
si para cada punto x Î E es posible
hallar un entorno V de x tal que la restricción de f a V
es constante.
|
contacto
|
Sean f1 y f2 dos
aplicaciones con valores es un espacio vectorial normado E y definidas en
una parte D no vacía de la recta real. Consideremos también un punto t0
adherente a D y un entero no negativo p. Se dice que f1
y f2 están en contacto de orden p en el punto t0
si el valor de la diferencia f1 - f2 es
despreciable respecto a (t-t0)p
cuando t tiende a t0. Otras acepciones del término
contacto se consideran en el contexto de las subvariedades y en contexto de las
curvas. Así, si E es un espacio vectorial real de dimensión finita y V1,
V2 son dos subvariedades de E de dimensiones d1
y d2, respectivamente, se dice que están en contacto de orden
p en un punto m0 de su intersección V1ÇV2,
si podemos hallar una ecuación h(x) = 0 de V1
en un entorno de m0 y una representación paramétrica f
de V2 en un entorno también de m0, de forma
que la aplicación h f es despreciable frente a ||x-f-1(m0)||
cuando x tiende a f-1(m0). Si las
dimensiones de las variedades son iguales el contacto se llama simétrico. Para
que dos curvas C1 y C2 estén en contacto de
orden p en un punto m0 es necesario y suficiente que
existan dos representaciones paramétricas f1 y f2,
respectivamente, de manera que estén en contacto de orden p en el punto t0
= f1-1(m0) = f2-1(m0).
|
contenido
|
Sinónimo de incluido. Ver inclusión.
|
continua, aplicación
|
Sean E y F dos espacios topológicos y
sea f una aplicación de E en F. Se dice que f es
continua en x0 ÎE si para
todo entorno W de su imagen f(x0) en F,
existe un entorno V de x0 en E tal que f(V)
Ì W. Esto equivale a decir que la antiimagen
de todo entorno de f(x0) es un entorno de x0.
La aplicación f es continua en un subconjunto A Ì
E si lo es en cada uno de sus puntos. Para que f sea continua en E
es necesario y suficiente que la imagen inversa de todo abierto de F sea
un abierto de E o bien que la imagen inversa de todo cerrado de F
sea también un cerrado de E. La noción de continuidad se adapta a los
espacios métricos mediante el uso de la distancia para definir entornos.
|
continua, fracción
|
Consideremos un entero positivo n y una sucesión
(y0, y1, ..., yn) de
enteros positivos a partir del primer término. Definimos una sucesión (zn)
de números racionales mediante la relación recurrente
zn = yn,
zp = yp
+ |
1
zp+1+1
|
si p
< n |
|
(18) |
|
continua, función absolutamente
|
Se dice que una función compleja f definida
sobre la recta real es absolutamente continua si existe una función compleja p
definida e integrable sobre la recta real y tal que para todo x Î
R se tiene que
La clase de una función tal p es única y se
llama densidad de f.
|
continuo
|
Se dice que un conjunto tiene la potencia del continuo
si es equipotente al conjunto de las partes del conjunto de los números
naturales.
|
continuo, hipótesis del
|
Todo conjunto no numerable contiene una parte
equipotente a R. Dicho de otra manera, no existe un conjunto cuyo
cardinal sea estrictamente superior al de los naturales y estrictamente inferior
al de los reales. Existe una versión más general llamada hipótesis
generalizada del continuo que postula que para todo conjunto infinito E
no existe ningún cardinal estrictamente mayor que el de E y
estrictamente inferior que el del conjunto de sus partes P(E).
Paul J. Cohen ha demostrado que cualquiera de las dos versiones de la hipótesis
del continuo es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.
|
contracción
|
Véase tensor.
|
contragradiente
|
Sea E un espacio vectorial y sea f un
automorfismo de E. El transpuesto del automorfismo inverso f-1
se llama contragradiente de f y se nota por \brevef. Es decir, \brevef
= (f-1)t.
|
contraída, aplicación
|
Una aplicación f de un espacio métrico (E,d)
en sí mismo se dice que es contraída de razón k, si es lipschitziana
de razón k con k estrictamente inferior a uno.
|
contrario, suceso
|
Sea (W, W) un
espacio probabilizable. El complementario en W de un
suceso A ÎW también es un suceso que
llamamos contrario de A y notamos por `(A).
|
contravariante
|
Véase
tensor.
|
conúcleo
|
Sea f una aplicación lineal entre dos K-espacios
vectoriales E y F. Sea Im(f) la imagen de f. Se
llama conúcleo y se nota por Coker(f) al espacio vectorial cociente F/Im(f).
|
convergencia
|
El concepto de convergencia es básico en el Análisis
Matemático. Se entiende generalmente en el marco de los espacios topológicos
pero tiene otras acepciones y matices. En un espacio E vectorial
topológico, una sucesión de sus elementos (xn) converge
débilmente a un elemento x Î E si
para toda funcional lineal y continua f de su dual E*
se cumple
En el caso de una sucesión (fn) de
funcionales lineales y continuas, la convergencia débil implica que para todo x
Î E se verifica
En un espacio vectorial normado E una
sucesión de puntos (xn) converge fuertemente a x Î
E si
La convergencia se llama débil si para toda
aplicación lineal y continua f de E en su cuerpo base (R
o C) se tiene
Cuando una sucesión converge fuertemente también
converge débilmente pero la recíproca no siempre es cierta.
|
convergencia, radio de
|
Sea zn an el término
general de una serie entera con coeficientes an en un
espacio normado completo E. El conjunto de números reales positivos r
que verifican que al serie de término general ||an||rn
converge constituyen un intervalo no vacío. Su cota superior r
en R o en R ampliado se llama radio de convergencia de la serie
entera. El conjunto de los números complejos z tales que |zn|
< r se llama dominio de convergencia. En el caso
de que r sea diferente de 0 y de ¥
el dominio de convergencia es un disco abierto de centro el origen y radio r.
|
convergencia en ley
|
Sea (W, A, P)
un espacio probabilístico, sea también (Xn) una sucesión de
variables aleatorias sobre W y X una variable
aleatoria sobre W. Se dice que la sucesión (Xn)
converge en ley a X si para todo par (a,b) de números
reales donde la función de distribución es continua se tiene
|
lim
n® ¥
|
P(a < Xn
£ b) = P(a
< X£ b) |
|
(24) |
|
convergencia en probabilidad
|
Sea (W, A, P)
un espacio probabilístico, sea también (Xn) una sucesión de
variables aleatorias sobre W y X una variable
aleatoria sobre W. Se dice que la sucesión (Xn)
converge en probabilidad a X si para todo real e <
0 se cumple
|
lim
n® ¥
|
P(|Xn
- X| ³
e) = 0 |
|
(25) |
|
convergente
|
Véase convergencia.
|
convergente, absolutamente
|
Sea (xn) una sucesión de
elementos de un espacio vectorial normado E. Se dice que la serie åi
= 0nxn converge absolutamente
si la serie åi = 0n
|| xn ||
es convergente. Para que un espacio normado E sea completo es necesario y
suficiente que toda serie absolutamente convergente de elementos de E sea
convergente.
|
convergente, conmutativamente
|
Una serie de término general (xn)
de un grupo topológico separado se dice que es conmutativamente convergente si
para toda permutación s de los enteros no negativos
la serie åi = 0nxs(n)
es convergente. Para que la serie de término general (xn) sea
conmutativamente convergente es necesario y suficiente que la familia (xn)n
Î N sea sumable.
|
convergente, integral
|
Sea f una función definida en la recta real y
con valores en un espacio de Banach E. Supongamos que es localmente
integrable sobre la recta real (relativamente a la medida de Lebesgue). Se dice
que f admite una integral convergente sobre [a,+¥[
si la función definida por
tiene límite cuando x ®
+¥. En el caso en que E = R y f
sólo tenga valores positivos, para que f admita una integral convergente
es necesario y suficiente que sea integrable en el intervalo [a,+¥[.
La función f:R É D ®E
admite una integral absolutamente convergente sobre [a,+¥[
si la función ||f||
admite una integral convergente sobre [a,+¥[.
Como trabajamos en un espacio de Banach (por tanto normado y completo) se puede
asegurar que toda integral absolutamente convergente es convergente.
|
convergente, normalmente
|
Sean X un conjunto no vacío, F un
espacio vectorial normado y (fn) una sucesión de aplicaciones
de X en F acotadas. Se dice que la serie åi
= 0¥ fn es
normalmente convergente si es absolutamente convergente en el sentido del
espacio vectorial de las aplicaciones acotadas de X en F dotado de
la norma de la convergencia uniforme. En la ráctica basta probar que existe una
sucesión de números reales positivos (an)
tal que ||fn||
< an para todo x Î
X y para todo natural n.
|
convexa, envolvente
|
Sea A un espacio afín asociado a un espacio
vectorial E sobre R. Sea S un subconjunto de A. El
conjunto de las partes convexas de A que contienen a S tiene un mínimo
elemento (obtenido mediante la intersección de todas ellas) que llamamos
envolvente convexa de S y, por definición, resulta el "menor"
convexo que contiene a S.
|
convexa, función
|
Sea f una función real definida sobre una
parte no vacía G de un espacio vectorial E
sobre R. Una tal función es convexa si el conjunto de los puntos de E
×R situados por debajo del grafo de f es convexo. Esto es
equivalente a afirmar que G es un convexo de E
y, para todo x,y Î G
y para todo real l Î
[0,1] se tiene
f(lx
+ (1-l) y) £
lf(x) + (1- l)
f(y) |
|
(27) |
|
convexa, parte
|
Sea A un espacio afín asociado a un espacio
vectorial E sobre R. Una parte G de A
se dice convexa si para todo par P,Q de puntos de G
el segmento cerrado [P,Q] está contenido en G.
Para que una parte no vacía de A sea convexa es necesario y suficiente
que sea estrellada respecto a alguno de sus puntos. En el caso de un espacio
vectorial real E, decimos que una parte F Ì
E es convexa si para todo x,y Î
F y para todo l Î
[0,1] es lx + (1-l)
y Î F.
|
convexidad, desigualdades de
|
Dadosn un entero positivo, (ai)1
£ i £ n,
(bi)1 £
i £ n dos sucesiones de números
reales positivos y p,q dos números reales estrictamente positivos
tales que 1/p+ 1/q = 1 se cumple
[desigualdad de Hölder] (28)
|
n
å
i = 1
|
ai bi£ |
æ
ç
è |
|
n
å
i = 1
|
aip |
ö
÷
ø |
1/p
|
|
æ
ç
è |
|
n
å
i = 1
|
biq |
ö
÷
ø |
1/q
|
|
y también para p un número real estrictamente
positivo
[desigualdad de Minkowsky] (29)
|
æ
ç
è |
|
n
å
i = 1
|
(ai +bi)p |
ö
÷
ø |
1/p
|
£ |
æ
ç
è |
|
n
å
i = 1
|
aip |
ö
÷
ø |
1/p
|
+ |
æ
ç
è |
|
n
å
i = 1
|
bip |
ö
÷
ø |
1/p
|
Estas desigualdades se llaman desigualdades de
convexidad. Cuando p = q = 2 la desigualdad de Hölder toma el
nombre de desigualdad de Cauchy-Schwarz.
|
convexo, localmente
|
Un espacio vectorial topológico E sobre R
o C se dice localmente convexo si para todo punto x Î
E existe un sistema fundamental de entornos convexos de x. Esto
equivale a decir que la topología de E puede definirse a partir de una
familia de seminormas sobre E.
|
convexo, polígono
|
Véase
polígono.
|
convolución
|
Sean f y g dos funciones complejas
definidas en Rn y localmente integrables (integrables respecto
a la medida de Lebesgue). Se dice que f y g admiten convolución
si la función f(x-t) g(t) es integrable casi
por todo punto x de Rn. En tal caso, se dice que
f*g (x) = |
ó
õ |
Rn
|
f(x-t) g(t)
d t |
|
(30) |
es el producto de convolución de f y g.
|
coordenada
|
Véase
cartesiano, sistema de referencia.
|
Copérnico
|
|
coplanario
|
Se dice que dos vectores (o dos puntos) son
coplanarios cuando pertenecen a un mismo plano (respectivamente, a un mismo
plano afín).
|
corolario
|
Teorema que es consecuencia inmediata de otro teorema.
|
corona
|
Sea z0 un número complejo y sean r1,
r2 dos números reales positivos tales que r2
< r1. La corona de centro z0
y radios r1 y r2 es el conjunto de números
complejos z tales que r2 < |z-z0|
< r1.
|
correspondencia
|
Sean E y F dos conjuntos no vacíos y
sea E×F su producto cartesiano. Sea también G una parte
de E×F. Una correspondencia entre E y F es la terna
f = (E,F,G). A G se le llama grafo o gráfico
de f a E conjunto de partida (o inicial) y a F conjunto de
llegada (o final). Si un par (x,y) pertenece a G se dice
que y corresponde a x por f. El conjunto de definición (o
dominio) de f está formado por aquellos x del conjunto inicial E
que verifican que (x,y) Î G. El
conjunto imagen está formado por aquello elementos y de F que
corresponden al menos a un valor x de E. Las aplicaciones son un
tipo de correspondencia.
|
cortadura
|
Partición del conjunto totalmente ordenado de los números
racionales en dos clases no vacías tales que todo elemento de la primera es
inferior a todo elemento de la segunda.
|
cortar
|
Un conjunto E corta a otro F (o bien E
y F se cortan) si su intersección es no vacía.
|
cosecante
|
Función numérica definida sobre el conjunto R
- n Z mediante csc(x) =1/( sin(x)).
|
coseno
|
Ver angulares, funciones; hiperbólicas, funciones;
trigonométricas, funciones.
|
cota
|
Véase cartesiano, sistema de
referencia.
|
cota inferior
|
Sea E un conjunto ordenado y sea P una
parte no vacía de E. Se dice que k Î E
es una cota inferior de P si k es comparable con todos los
elementos de P y resulta menor o igual (relativamente al orden de E).
|
cota superior
|
Sea E un conjunto ordenado y sea P una
parte no vacía de E. Se dice que k Î E
es una cota superior de P si k es comparable con todos los
elementos de P y resulta mayor o igual (relativamente al orden de E).
|
cotangente
|
Véase
angulares, funciones; hiperbólicas, funciones;
trigonométricas, funciones.
|
covariante
|
Véase tensor.
|
covarianza
|
Sean X e Y dos variables aleatorias
sobre un mismo espacio probabilístico (W, A, P),
ambas admitiendo momentos de orden 2. Se llama covarianza de X e Y
y se nota por Cov(X,Y) a la esperanza del producto de las
variables centradas asociadas a X e Y. Es decir, Cov(X,Y)
= E[(X-E(X)) (Y-E(Y)].
|
Cramer, Gabriel
|
Matemático italiano (Génova, 1704-Bagnols-Sur-Cèze,
1752). Trabajó en el campo del análisis, de los determinantes, la geometría y
la historia de las matemáticas. Es sobre todo conocido por su regla para
resolver sistemas lineales mediante determinantes aunque también hizo
contribuciones al estudio algebraico de las curvas.
|
Cramer, sistema de
|
Sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas
y rango máximo (es decir n). Un tal sistema admite una solución única
expresable mediante cocientes de determinantes. En efecto, si tenemos el sistema
donde
se concluye que es de Cramer y la solución se obtiene
mediante las fórmulas, llamadas también de Cramer
|
x1 = |
b1
a22-b2 a12
a11
a22 - a12 a21
|
|
|
(33) |
x2 = |
b2
a11- b1a21
a11
a22 - a12 a21
|
|
|
(34) |
|
|
|
|
creciente
|
Consideremos dos conjuntos ordenados E y F
cuyas relaciones de orden notamos por el mismo símbolo £
. Una aplicación f:E® F es
creciente (o bien un morfismo de conjuntos ordenados) si para todo (x,y)
Î E2 tal que x £
y se cumple f(x) £ f(y).
En el caso de una sucesión f:N ® F
esta condición equivale a la siguiente: para todo natural n es f(n)
£ f(n+1). Si sustituimos el símbolo
de la desigualdad por el de la desigualdad estricta se obtiene el concepto de
aplicación (respectivamente, sucesión estrictamente creciente.
|
criterio
|
Sinónimo de condición necesaria y suficiente.
|
cuadrada, matriz
|
Véase
Matriz.
|
cuadrada, raíz
|
Véase raíz.
|
cuadrado
|
Rectángulo cuyos lados tienen la misma longitud o en
otra acepción es toda potencia de exponente dos de un elemento de un monoide
multiplicativo.
|
cuadrante
|
Sinónimo de sector angular recto. Sea P
un plano euclídeo orientado y consideremos (i, j) una base
ortonormal directa de P. Podemos determinar unas
semirrectas O x, O y,O x¢,
O y¢ con origen O y vectores
directores i, j, -i, -j, respectivamente. Se llama
primer cuadrante (respectivamente, segundo, tercero, cuarto) al cuadrante de
origen O x (respectivamente, O y, O x¢,
O y¢) y extremo Oy
(respectivamente O x¢, O y¢,
O x.
|
cuadrática, extensión
|
Dados un anillo A unitario y conmutativo y e
su elemento unidad, se dice que una extensión B de A es cuadrática
si podemos hallar un elemento n de B tal que
el par (e, n) es una base del A-módulo
B. En la práctica, la extensión cuadrática más común se efectua
dotando al grupo producto directo A2 de una estructura de
anillo unitario y conmutativo mediante una multiplicación definida por
(x,y) (x¢,
y¢) = (x x¢+
d yy¢, x y¢+
yx¢) |
|
(35) |
En esta multiplicación el elemento d es uno
dado del anillo A. La extensión obtenida se nota por A[Öd]
y se caracteriza porque en ella (d,0) es el cuadrado de (0,1).
|
cuadrática, forma
|
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo
conmutativo K. Una forma cuadrática q sobre E es una
aplicación q: E ® K que
satisface las condiciones siguientes:
- Para todo x Î E y para
todo a Î K es q(ax)
= a2 q( x);
- la aplicación Q(x, y) que asocia a cada par
de vectores (x,y) el escalar q(x + y) -q(x)
-q(y) es una forma bilineal simétrica sobre E.
La definición nos muestra la estrecha relación
existente entre las formas cuadráticas y las formas bilineales simétricas. En
efecto, si S es una forma bilineal simétrica sobre E, la aplicación
q(x) = S(x,x) es una forma cuadrática
asociada a S. Del mismo modo, si el cuerpo K es de característica
distinta a 2 se tiene que para toda forma cuadrática q sobreE, la
aplicación Q(x,y) = 1/2 (q(x
+ y) - q( x)-q(y)) es una forma bilineal simétrica
que tiene a q por forma cuadrática asociada.
|
cuadratura del círculo
|
Construcción de un cuadrado de área igual a un círculo
dado. Este problema se reduce a la determinación de p
y no es resoluble mediante regla y compás ya que p
es trascendente.
|
cuádrica
|
Superficie algebraica de grado 2. Admiten ecuación de
la forma
A x2 +
A¢y2 + A¢¢z2
+ 2B y z+ 2 B¢x
z +
+ 2 B¢¢xy + 2 C
x +2 C¢y + 2 C¢¢z
+ D = 0 |
|
(36) |
donde A,A¢,A¢¢,
B, B¢, B¢¢,
C,C¢, C¢¢
y D son números reales. En el caso del cuerpo de los números reales
las cuádricas se clasifican estudiando la signatura de la forma cuadrática
(x,y,z) ®
Ax2 + A¢y2
+ A¢¢z2
+ 2 B y z + 2 B¢x
z + 2 B¢¢xy |
|
(37) |
|
cuadrilátero
|
Un polígono es una sucesión finita de al menos tres
puntos puntos distintos de un plano afín real, tal que dos puntos consecutivos
no están nunca alineados. Los puntos de la sucesión son los vértices y los
segmentos que unen puntos consecutivos son los lados. Un polígono de cuatro vértices
y cuatro lados es un cuadrilátero.
|
cuártica
|
Curva algebraica de grado cuatro.
|
cuaterna
|
Conjunto de la forma ((x,y,z),t),
notado más simplemente por (x,y,z,t).
|
cuaternio
|
Sea K un cuerpo conmutativo y consideremos el
espacio vectorial K4 sobre K. Dados dos escalares p,q
Î K y la base canónica (e,i,j,k)
de K4 existe una estructura de K-álgebra para K4
única, tal que e^2 =e, e i = i e = i
e k = k e = k
i^2 =p e, j^2 = q e
k^2 = -p q e, i j = - j i = k
j k =- k j = - q i, k i = - i k = - p j Con esta estructura de álgebra el
espacio K4 se llama álgebra de los cuaterniones sobre K
y se nota por Ep,q,q. En
el caso de que K = R y p = q = -1, el álgebra E-1,-1
es un cuerpo notado por H (en honor a Hamilton).
|
cúbica
|
Curva algebraica plana de grado 3.
|
cúbica, raíz
|
Véase raíz.
|
cubo
|
Potencia de exponente n = 3 de un elemento a
de un monoide multiplicativo. También se llama cubo a un paraleletopo cerrado
de un espacio afín asociado a un espacio vectorial de dimensión 3.
|
cuerpo
|
Anillo no trivial (es decir, no reducido al cero) y
cuyos elementos no nulos son todos inversibles. Para que un anillo no trivial
sea un cuerpo es necesario y suficiente que el conjunto de sus unidades coincida
con K* = K-{0}.
|
cúpula de Viviani
|
Cúpula esférica con cuatro ventanas iguales de
tal modo que la superficie que queda sea cuadrable. Este problema -conocido como
enigma florentino- fue propuesto por Viviani, y se resuelve cortando una esfera
por un cilindro circular de diámetro igual al radio de la esfera, verificándose
que la diferencia entre el área de la cúpula y la de parte que limita en ella
el cilindro es igual al cuadrado del diámetro.
También es un volumen
exactamente cubicable por ser la diferencia entre le volumen de la cúpula y el
de la parte que limita en ella; el cálculo vale un noveno del cubo del
diámetro.
La curva de intersección de
la esfera y el cilindro lleva el nombre de Viviani; es unicursal de cuarto
orden; tiene la forma de un 8 sobre la esfera; es doble el punto de contacto de
la esfera y el cilindro; si se desarrolla éste, la transformada es una
sinusoide, y, por último, su proyección sobre el plano yz es una parábola;
sobre el eje xz, desde el punto doble, una hipérbola equilátera, y desde el
diametralmente opuesto una lemniscata.
|
curva
|
Véase subvariedad de Rn.
|
cuvatura
|
Sean E un espacio vectorial euclídeo
tridimensional, C una curva de clase C2, (I,f)
una representación paramétrica de C y M0 un punto de C.
La curvatura g de C en el punto M0
es la norma de la derivada respecto a la abscisa curvilínea del vector unitario
tangente t. Es decir:
La curvatura no es nula si y sólo si M0
es un punto regular de orden 2. En tal caso, se demuestra que
siendo n el vector unitario de la normal
principal. La inversa de la curvatura se llama entonces radio de curvatura y se
nota por r (o R). El punto P = M0+r
n se llama centro de curvatura. La curvatura y el centro de curvatura no
dependen de la orientación elegida sobre C. En el caso de que E
sea un plano euclídeo orientado las definiciones son las mismas, considerando
esta vez que n designa al vector unitario de la normal orientada, y que
la curvatura no es necesariamente positiva. El radio de curvatura es entonces r
= [(ds)/( d a)], donde s es la
abscisa curvilínea y a una función angular asociada
al vector tangente t.
|
curvilínea, abscisa
|
Sea A un espacio afín euclídeo de dimensión
finita y sea (I,f) un arco parametrizado de A de clase cp,
p >1. Dado un punto t0 de
I se llama abscisa curvilínea de origen t0 al valor
s(t) = |
ó
õ |
t
t0
|
||f¢(u)||
d u |
|
(40) |
|
curvilínea, integral
|
Véase circulación.
|
curvilíneas, coordenadas
|
Sea A un espacio afín asociado a un espacio
vectorial normado n-dimensional sobre R. Sea también f un
difeomorfismo de un abierto U de Rn sobre un abierto V
de A. Para todo punto y de V, el único punto (u1,
u2, ..., un) de U cuya imagen por f
es y (es decir la antiimagen de y por f) se llama sistema
de coordenadas curvilíneas de y.
|
cúspide, punto
|
Sinónimo de punto anguloso.
|