dalambertiano

Operador diferencial definido como

Darboux, Jean Gaston

Matemático francés (Nimes, 1842-París, 1917). Sus aportaciones se centran en teoría de la integración, ecuaciones en derivadas parciales y geometría diferencial.

Darboux, suma de

Sea f una función real o compleja acotada sobre un intervalo [a,b^] de la recta real y sea S = (c₀,c₁,¼,c_n) una subdivisión ordenada de [a,b^] con c₀ = a y c_n = b. Se llaman sumas de Darboux asociadas a f y a S a los números reales:

donde m_i y M_i designan, respectivamente, las cotas inferior y superior de f en cada subintervalo \lbrack c_i,c_i+1+1\rbrack .

Darboux-Ribancour, 

triedro de

Dados un espacio E vectorial, euclídeo y orientado de dimensión 3, una superficie S de E también orientada y de clase C², M₀ un punto de S regular de orden 1, (D,f) una representación paramétrica de S en un entorno de M₀, G un arco de S que pasa por M₀ y h el vector unitario normal a S que pasa por M₀, se llama triedro de Darboux-Ribancour en M₀ a la referencia ortonormal directa (M₀,t,g,h), donde t es el vector unitario tangente a S en M₀ y g = h×t.

débil, topología

decidible, teoría

Una teoría T es decidible si existe un algoritmo que determina si cualquier proposición dada es o no teorema de T. Por ejemplo, la teoría de grupos abelianos es decidible mientras que la teoría de conjuntos y el cálculo de predicados son indecidibles.

decimal

Expresado en base diez.

decimal, número

Un número racional r es decimal si podemos hallar un natural m de forma que 10^mr es entero. El conjunto de los números decimales es un subanillo del anillo de los números racionales.

decreciente

Dedekin, Julius 

Wilhem Richard

defecto

Un valor aproximado es por defecto si es menor que el valor real.

definición, conjunto de

Sinónimo de dominio.

degenerada

Delsarte, Jean

Matemático francés (Fourmies, 1906-Nancy, 1908). Miembro fundador de Bourbaki. Trabajos en teoría de números y en funciones especiales.

De Morgan, Augustus

Matemático y lógico inglés (Madira, India,1806-Londres, 1871).

De Morgan, leyes de

Sean R y S proposiciones, entonces: 

~ (R  y S)= ~R o ~ S

Si E y F son conjuntos, entonces (E F)=( E) ( F)
(E F)=( E) ( F)

demostración

Véase formal, lenguaje.

Denjoy, Arnaud

denominador

densidad

Sea m una medida de Radon sobre un espacio topológico localmente compacto E numerable en el infinito y f una función localmente integrable sobre E a valores complejos. La aplicación f® ò(ff)m es una medida de Radon sobre E, llamada medida definida por la densidad f y notada fm. Para que una función g definida sobre E a valores complejos sea (fm)-integrable es necesario y suficiente que gf sea m-integrable; en estas condiciones se cumple el teorema de Radon-Nikodym:

Véase continuo, absolutamente.

denso

dependiente

Contrario de independiente. Ver libre

derivable

Sea I un intervalo no vacío ni trivial de la recta real y sea E un espacio vectorial normado sobre \mathbbR. Una aplicación f de I en E es derivable en un punto x₀ de I si la razón:

tiene un límite cuando h tiende a cero permaneciendo distinto de cero. Este límite se llama derivada de f en x₀ y se nota por f^¢(x₀),Df(x₀),[(df)/( dx)](x₀) o alguna notación similar. En el caso de una función compleja f definida en un abierto U del plano complejo, se dice que es derivable en un punto interior z₀ Î U si la razón

tiene límite cuando h tiende a cero permaneciendo diferente de cero. Para que dicha función compleja sea derivable en un punto es necesario y suficiente que f, considerada como función de dos variables reales x e y , sea diferenciable en este punto, y que sus derivadas parciales en ese punto verifiquen la relación 

Cuando f está escrita en la forma f = P+iQ, donde P es la parte real y Q la imaginaria de f, la relación anterior viene a ser 

derivación de un álgebra

Sea E un álgebra sobre un cuerpo conmutativo K. Una derivación de E es todo endomorfismo D del espacio vectorial subyacente E, tal que para todo par de elementos (x,y) de E, se cumple: 

derivada

Véase  derivable, diferenciable.

derivadas parciales, 

ecuaciones en

Sea U un abierto en Rⁿ. Una ecuación en derivadas parciales lineal es una ecuación de la forma Df = g, donde D es un operador diferencial, g una función o una distribución dada, y f la función o distribución incógnita. Si g es continua sobre U, y el orden del D es r, entonces una solución f de la ecuación es una función r veces continuamente diferenciable sobre U tal que Df = g.

derivado, conjunto

Sea (A,d) un espacio métrico y sea P una parte de A. El conjunto derivado de P, notado por D(P) o bien por ac(P) es el conjunto de los puntos de acumulación de P.

derivado, grupo

Se llama subgrupo derivado de un grupo G y se nota por D(G), al subgrupo engendrado por los conmutadores de los elementos de G. Este subgrupo es normal.

Desargues, Gérard

Arquitecto, ingeniero y matemático francés (Lyon, 1593-Lyon, 1662). Propiedades proyectivas de las cónicas; introducción de los elementos en el infinito e involuciones.

desarrollable, superficie

Véase  superficie reglada.

desarrollado

Sea (I,f) un arco parametrizado plano regular y de orden 2. Para todo elemento t de I sea C_t el centro de curvatura de G en el punto f(t). Se llama desarrollado de G el arco parametrizado (I,g), donde g(t) = OC_t. También se puede considerar como la envolvente de las normales a G.

desarrollante

Se llama desarrollante de una curva plana C a toda curva cuya desarrollada es C.  

Descartes, René

Soldado, filósofo, físico y matemático francés (La Haya, 1596-Estocolmo 1650).

Descartes, folio de

Curva algebraica cuya ecuación es

Descartes, óvalo de

Conjunto de los puntos del plano euclídeo cuyas distancias r y r^¢ a dos puntos dados  P y P´ están ligadas por una relación de la forma:   a r + b r^¢ = c

Donde a, b y c son constantes.-

descomponer

Se dice que un polinomio P con coeficientes en un cuerpo conmutativo K se descompone sobre o en K si P es constante o si P puede escribirse en la forma

P = b n Õ i = 1 (x-ai)ni

donde a₁,a₂,¼,a_r y b son elementos de K y n₁,n₂,¼,n_r enteros positivos. Dicho de otra forma, los únicos factores irreducibles que figuran en la descomposición de P son de grado uno.

descomponible

Véase tensorial, producto

descomposición, cuerpo de

Sea P un polinomio no constante con coeficientes en un cuerpo conmutativo K. Se llama cuerpo de descomposición de P a toda extensión K^¢ de K de grafo finito tal que P se descomponga en K (ver descomponer).

descriptiva, geometría

Técnica de dibujo industrial utilizada también en matemáticas. 

Ampliar 

desplazamiento

Isometría directa de un espacio afín euclídeo de dimensión finita sobre R.

despreciable, parte

Se dice que una parte A de R es despreciable si es integrable y de medida nula.

desviación típica

Sea X una variable aleatoria admitiendo un momento de orden 2. La varianza de X es un número real positivo cuya raíz cuadrada se llama desviación típica o también desviación estándar de X y se nota por s(X).

determinante

Sea E un espacio vectorial de dimensión n no nula sobre un cuerpo conmutativo K y sea B = (e₁,e₂,...,e_n) una base de E. Existe una forma n-lineal alternada única sobre E que toma el valor 1 para la base B . Tal forma recibe el nombre de determinante en la base B y se nota por det_B. Su valor sobre una n-tupla (x₁, x₂, ..., x_n) de vectores dado se nota por det_B(x₁, x₂, ..., x_n). El cálculo del determinante puede hacerse a través de la expresión de los vectores en la base dada. Así, si las componentes del vector x_j en la base B son (x_j11,x_j22,..., x_jn), entonces 

donde P_n es el grupo de las permutaciones del intervalo [1,n], s es una cualquiera de esas permutaciones y e(s) la signatura de tal permutación.

diádico

Un número racional r es diádico si existe un entero natural m tal que el producto 2^m r es entero.

diagonal

Sea E un conjunto. La diagonal del producto cartesiano de E por sí mismo, E ×E es el conjunto de los pares de la forma (x,x) , donde x Î E. La aplicación f: E ® E ×E, definida por f(x) = (x,x) es una biyección que se llama aplicación diagonal. También se llaman diagonales de un cuadrilátero (A,B,C,D) a los segmentos AC y BD.

diagonal, matriz

Sea M = (a_ij) una matriz cuadrada de orden n. Los elementos de M cuyos índices i, j sean iguales se llaman elementos diagonales de M y la sucesión finita (a_ii)_{i = 1}ⁿ es la diagonal principal de M. Una matriz cuadrada M = (a_ij) es diagonal si es a_ij = 0 para todo i ¹ j. Es decir, los elementos de M que no se hallen en la diagonal son nulos. El conjunto de las matrices diagonales es una subálgebra conmutativa y unitaria del álgebra de las matrices cuadradas de orden n. También podemos afirmar que el conjunto de las matrices diagonales invertibles es un subgrupo del grupo conmutativo de las matrices cuadradas invertibles.

diagonalizable

Sea E un espacio vectorial de dimensión finita y no nula sobre un cuerpo conmutativo K. Se dice que un endomorfismo f de E es diagonalizable si existe una base de E en la cual la matriz asociada a f es diagonal. Para que f sea diagonalizable es necesario y suficiente que E sea suma directa de subespacios propios de f. Una matriz es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Es decir, si el endomorfismo canónicamente asociado a dicha matriz es diagonalizable.

diagonalizar

Sea M una matriz cuadrada de orden n con entradas de un cuerpo conmutativo K. Diagonalizar M es determinar una matriz diagonal D y una matriz cuadrada invertible P, tales que M = PDP^-1.

diámetro

Sea A una parte no vacía de un espacio métrico (E,d). Se llama diámetro de A y se nota por d(A), la cota superior (en la recta ampliada real) del conjunto de las distancias entre los pares de puntos de A. Es decir 

dicotomia

Descomposición en dos.

diedro

Sean P y P^¢ dos semiplanos cerrados de un espacio afín euclídeo de dimensión 3, limitados por una misma recta afín r. El conjunto { P,P^¢} se llama diedro de caras P y P^¢, la recta afín r es la arista del diedro. El ángulo de las semirrectas intersecciones de P y P^¢ con un plano afín perpendicular a r no depende del plano considerado y se llama ángulo del diedro.

Dieudonné, Jean 

Alexandre Eugène

Matemático francés (Lille, 1906). Miembro fundador de Bourbaki. Sus trabajos versan sobre numerosas ramas de las matemáticas: topología general, espacios vectoriales topológicos, grupos, geometría, historia de las matemáticas, etc.

difeomorfismo

Sean E y F dos espacios vectoriales normados sobre el cuerpo de los números reales o sobre el cuerpo de los números complejos. Sean también U un abierto de E y V un abierto de F. Una aplicación f:U ® V es un difeomorfismo de clase C¹ si es biyectiva y continua y tanto ella como su inversa son continuamente diferenciables. Generalizando, sea p un entero superior a 1. Una aplicación f es un C^p-difeomorfismo si f es biyectiva tanto ella como su inversa son de clase C^p.

diferencia

Sean E y F dos conjuntos. Su diferencia E-F es el conjunto formado por los elementos de E que no pertenecen a F. Es decir, E-F es el complementario de E ÇF en E. Si tanto E como F son subconjuntos de un conjunto universal U, su diferencia E-F es igual a la intersección de E con el complementario de F en U. En símbolos: E-F = E ÇF^c. La diferencia también puede entenderse en el marco de una estructura algebraica. Así, si E es un monoide aditivo y a y b son dos de sus elementos, podemos definir su diferencia b-a como la solución en E de la ecuación a+x = b, siempre que tal solución sea única.

diferenciable

Sean E y F dos espacios vectoriales normados sobre el cuerpo de los números complejos o de los reales y sea f una aplicación definida sobre un abierto U de E con valores en F. Se dice que f es diferenciable en un punto p Î U si podemos encontrar una aplicación continua y lineal g de E en F, tal que 

Es decir, el valor de ||f(x)-f(p) - g(x-p) || es un infinitésimo de orden inferior al infinitésimo ||x-p|| cuando x tiende a p. Si tal aplicación lineal g existe es única y se dice que es la diferencial de f en el punto p, notándose por df_p, Df(p) o alguna notación similar. Evidentemente, toda aplicación lineal es diferenciable y su diferencial en cada punto coincide con la propia aplicación lineal de partida. Una aplicación f se dice diferenciable en un abierto U si lo es en cada uno de sus puntos. Supongamos que f es diferenciable en U y sea L(E,F) el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de E en F. La aplicación derivada f^¢: U ® L(E,F) se define para cada punto mediante 

Es decir, a cada punto se le asigna su diferencial. En el caso de que f^¢ sea continua se dice que f es continuamente diferenciable o de clase C¹ en U. Se dice que f es dos veces diferenciable en un punto p si es diferenciable en un entorno de p y si f^¢ es diferenciable en p. Por recurrencia se definen las aplicaciones k veces diferenciables y las k veces continuamente diferenciables. Cuando f es k veces diferenciable sobre un abierto U, para todo k ³ 1 se dice que es indefinidamente diferenciable sobre U o de clase C^¥ en U.

diferencial de una aplicación

Sean E y F dos K-espacios vectoriales normados (donde K es el cuerpo real o complejo), y sea f una aplicación diferenciable sobre un abierto U de E con valores en F. La aplicación derivada 

f¢:U ® L(E,F)

(14)

definida por f(x) = df_x y con valores en el espacio vectorial L(E,F) de las aplicaciones lineales de E en F, se llama diferencial de f. También se suele notar por d f. Si F es el cuerpo real o el complejo y E un espacio vectorial real de dimensión finita con una base B = (e₁,e₂, ..., e_n), consideramos la aplicación: 

gB:E ® Rn

(15)

que asigna a cada vector sus coordenadas (x₁, x₂, ..., x_n) en la base B. Tal aplicación es lineal y su composición con las distintas proyecciones también es lineal: 

si(x) = pi( gB (x)) = xi,     i Î {1,2, ..., n }

(16)

Como toda aplicación lineal es diferenciable, concluimos que s_i es diferenciable y además la diferencial d s_i = s_i, para todo i Î {1,2, ..., n }. Es decir, la diferencial de s_i es una aplicación lineal que a cada vector le asigna su i-ésima componente en la base B. Con estos convenios podemos escribir: 

dx0f = f =  n å i = 1 ¶f ¶si ¶si (x0) d x0 si. si.

(17)

 

 

diferencial, ecuación

Sea E un espacio vectorial normado y sea f una aplicación continua de un abierto U de R ×E en E, la ecuación 

d y d d x = f(x,y)

(18)

se llama ecuación diferencial de primer orden en el campo real. Una solución de esta ecuación es una aplicación f derivable sobre un intervalo I de la recta real con valores en E, tal que para todo punto x de I, el par (x f(x)) pertenece a U y verifica 

f¢(x) = f(x, f(x)).

(19)

Una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma: 

d y d d x = a(x) y + b(x),

(20)

donde a(x) es una aplicación continua de un intervalo J de R en el espacio de los endomorfismos continuos de E y b(x) una aplicación continua de J en E. Con mayor generalidad podemos considerar un entero n superior a 1 y una aplicación f continua de un abierto U de Rⁿ ×E en E. La ecuación: 

dn y d d xn = f æ ç è x,y,  d y d d x ,¼,  dn-1-1y d d xn-1-1 ö ÷ ø

(21)

se llama ecuación diferencial de orden n en el campo real. Una solución f de esta ecuación es una aplicación n veces derivable sobre un intervalo I de la recta real y con valores en E tal que, para todo punto x de I, se cumple que la n+1-tupla: 

(x,f(x), f¢(x), ..., f(n-1)(x))

(22)

pertenece a U y verifica: 

f(n)(x) = f(x, f¢(x), ..., f(n-1)(x)).

(23)

Se llama problema de Cauchy relativo a un elemento (x₀,y₀,y₁, ...,y_n-1-1) de U a la búsqueda de soluciones f tales que f(x₀) = y₀,     f^¢(x₀) = y₁, ...,f^(n-1)(x₀) = y_n-1-1 (condiciones éstas que llamamos iniciales o de contorno). Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de la forma 

dn y d d xn = a0 (x) y + a1 (x) d y d d x + ... +an-1-1(x)  dn-1-1 y d d xn-1-1 +b(x),

(24)

donde a₀(x), a₁(x), ¼, a_n-1-1(x) son aplicaciones continuas de un intervalo J de la recta real en el espacio vectorial de los endomorfismos de E y b(x) una aplicación continua de J en E.

Sean E un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo de los complejos y f una aplicación holomorfa de un abierto U de C×Eⁿ en E. La ecuación 

dn y d d zn = f(z,y, d y d d z , ...,  dn-1-1 y dzn dzn-1 )

(25)

se llama ecuación diferencial de orden n en el campo complejo. Una solución f de esta ecuación es una aplicación holomorfa de un abierto conexo D de C en E, tal que para todo punto z Î D, la (n+1)-tupla definida por (z, f(z), f^¢(z), ..., f^(n-1)(z))es un elemento de U y verifica 

f(n)(z) = f(z, f(z),f¢(z), ..., f(n-1)(z))

(26)

 

diferencial, forma

Supongamos que E es un espacio vectorial normado de dimensión finita sobre el cuerpo de los números reales y que U es un abierto de E. Sea E_C el espacio vectorial de las formas lineales de E con valores complejos y sea E_C^* el espacio dual del anterior. Se llama forma diferencial de grado 1 sobre U a una aplicación de U en E_C^*. Si f es una función con valores complejos y diferenciable sobre U, la diferencial df es una forma diferencial sobre U. Más generalmente, para todo entero natural no nulo p, se llama forma diferencial de grado p sobre U a una aplicación de U en el espacio vectorial de las formas p-lineales alternadas definidas sobre el espacio vectorial de las formas lineales f:E® C.

 

diferencial de un polinomio

Sea K un cuerpo conmutativo y sean los conjuntos K[X₁,X₂,...,X_p,Y₁,Y₂,...,Y_p] el álgebra de los polinomios en 2p indeterminadas con coeficientes en K, L = K[X₁,X₂,...,X_p] la subálgebra unitaria engendrada por X₁,X₂,...,X_p y P un elemento de L. La componente 1-homogénea del polinomio P( X₁+Y₁,X₂+Y₂,...,X_p+Y_p) , considerado como elemento de L[Y₁,Y₂,...,Y_p] se llama diferencial de P y se nota dP.

 

diferencial, variedad

Sea E un espacio topológico. Se llama carta de E a una terna c = ( U,n,f) , formada por un abierto U de E , un natural n y un homeomorfismo f de U sobre un abierto de Rⁿ. El abierto U se llama dominio de definición de c y n su dimensión. Se dice que dos cartas con el mismo dominio c = (U,n,f) y c^¢ = ( U,n^¢,f^¢) son compatibles si los dos homeomorfismos compuestos f^¢°f^-1 y f°( f^¢) ^-1 son indefinidamente diferenciables. Se dice que dos cartas cualesquiera c = ( U,n,f) y c^¢ = ( U^¢,n,f) son compatibles si la intersección de sus dominios UÇU^¢ es vacía o en el caso de que tal intersección no sea vacía, las restricciones ( UÇU^¢,n,f\diagup UÇU^¢) ,  ( UÇU^¢,n^¢,f^¢\diagup UÇU^¢) son compatibles teniendo en cuenta que tienen el mismo dominio. Un atlas de E es una colección de cartas de E compatibles dos a dos y cuyos dominios de definición forman un recubrimiento de E. En el caso de tener un par de atlas  y Á se dice que son compatibles si toda carta de  es compatible con toda carta de Á. La relación de compatiblidad así definida resulta una relación de equivalencia. Un atlas  es de dimensión n si todas sus cartas son de dimensión n. Para acabar, una variedad diferencial no es más que un espacio topológico separado E dotado de una clase de equivalencia de atlas. Si tales atlas son de dimensión n, la variedad diferencial también se llama n-dimensional.

 

dilatación

Ver afinidad; homotecia.

 

dimensión

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K . Decimos que es de dimensión finita si es posible encontrar una parte finita de E que sea sistema generador. En caso contrario se dice que E es de dimensión infinita. En el caso de que E sea de dimensión finita podemos comprobar que todas las bases son finitas y tienen el mismo cardinal. Este cardinal común n se llama dimensión de E.y se nota por dim( E) Cuando E se reduce al vector 0 se dice que es de dimensión cero. Si el espacio E es de dimensión finita también lo es cualesquiera de sus subespacios. Sea A un espacio afín asociado a un espacio vectorial E. Se dice que A es de dimensión finita si E lo es. La dimensión de A es entonces la de E y se nota de forma análoga dim( A) .

 

Dini, Ulises

Matemático italiano (Pisa,1845-Pisa,1918).

 

Dini, teorema de

Sea E un espacio compacto y sea (f_n) una sucesión de funciones numéricas finitas definidas y continuas sobre E convergiendo de manera simple a una función numérica finita f. Si la sucesión es monótona y f es continua, la sucesión ( f_n) converge uniformemente a f.

 

Diofanto de Alejandría

Matemático griego (Alejandría, 325-Alejandría, 410). Su fama reside en su obra Aritmética, donde podemos encontrar numerosas proposiciones sobre teoría de números, así como el estudio de las ecuaciones que llevan su nombre.

 

Diofanto, ecuaciones de (diofánticas)

Ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros de varias variables cuyas soluciones también se suponen enteras. Por ejemplo, si m y n son naturales y se busca que x , y, z sean enteros, la ecuación

x2-m2y = zn

es una ecuación diofántica

Matemático y físico inglés (Bristol, 1902, Tallahassee(Florida), 1984). Mecánica Ondulatoria, Mecánica Cuántica, Física Matemática.

 

Dirac, medida de

Sean E un espacio topológico localmente compacto y a un punto de E. Se llama medida de Dirac en el punto a y se nota por d_a la medida sobre E definida por

da( f) = f( a)

Cuando E es Rⁿ y a es el vector nulo, la medida se nota simplemente por d.

ver afín, variedad lineal

 

directa, base

Sea E un espacio vectorial orientado. Se dice que una base B de E es directa si la orientación definida por B es la misma que la de E.

 

directa, imagen

Sea f una aplicación de un conjunto E en un conjunto F. La imagen de una parte de E por f se llama generalmente imagen directa. Esto se hace para evitar confusiones con las imágenes de partes de F, las cuales se llaman inversas.

 

directa, suma

 

 

Consideremos una familia ( E_i) _{i Î I} de espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo conmutativo K. El conjunto de los elementos ( x_i) _{i Î I} del espacio vectorial producto Õ_{i Î I}E_iE_i cuya i-ésima proyección canónica x_i es nula salvo para una parte finita de I, es un subespacio vectorial de Õ_{i Î I}E_iE_i, llama suma directa externa, o más simplemente suma directa de la familia ( E_i) _{i Î I}, que se nota por Å_{i Î I}E_iE_i. Cuando el conjunto I es finito, los espacios vectoriales Õ_{i Î I}E_iE_i y Å_{i Î I}E_iE_i son iguales. Supongamos ahora que tenemos en lugar de una familia de espacios vectoriales una familia de subespacios ( F_i) _{i Î I} de un mismo espacio vectorial K. Decimos entonces que la suma de estos subespacios G = å_{i Î I}F_iF_i es directa si todo vector de G se expresa de manera única como x = å_{i Î I}x_ix_i, donde para todo i Î I, el vector x_i Î F_i y la familia ( x_i) _{i Î I} tiene soporte finito. Se emplea la notación G = Å_{i Î I}F_iF_i sin que resulte confusión. De hecho, la suma directa de los subespacios vectoriales F_i y la suma directa externa de esos mismos subespacios (considerados como espacios vectoriales individuales) son canónicamente isomorfas.

 

 

directo, automorfismo

Sea E un espacio vectorial de dimensión finita y no nula sobre el cuerpo de los números reales. Se dice que un automorfismo de E es directo si su determinante es estrictamente positivo. En el caso de un espacio afín A con espacio vectorial asociado E, diremos que un automorfismo afín de A es directo si el automorfismo asociado de E lo es.

 

directo, factor

Un submódulo F de un módulo E sobre un anillo unitario y conmutativo A se dice que es un factor directo de E si posee un submódulo suplementario G en E. Es decir, si podemos hallar un submódulo G tal que FÅG = E. En el caso de los espacios vectoriales todo subespacio es factor directo ya que todo subespacio posee un subespacio suplementario.

 

directo, par

Sea E un espacio vectorial orientado. Un par (E₁,E₂) de subespacios vectoriales de E que sean suplementarios y no triviales, es directo siempre que la orientación que define el par coincida con la orientación de E.

 

directo, producto

Ver producto.

 

director, coeficiente

Sea P un plano afín real con un sistema de referencia cartesiano y sean a,b dos números reales y D la recta afín con ecuación y = ax+b. El número a se llama coeficiente director de D. En el caso de que el plano afín P sea euclídeo y la referencia ortonormal, el valor a se llama pendiente de la recta D.

 

director, coseno

Consideremos un espacio afín A y euclídeo con dimensión finita y dotado de un sistema de referencia cartesiano ortonormal ( O,B) . Sea también D un eje y u un vector unitario de D. Los componentes de u en la base B no son otros que los cosenos de los ángulos que forma u con cada uno de los vectores de la base, es por esto  por lo que se les llama cosenos directores del eje D.

 

director, vector

Sea D una recta afín. Se llama vector director de D a todo vector no nulo de la dirección de D.

 

Dirichlet, Peter Gustav Lejeune

Matemático alemán (Düren, 1805-Gotinga, 1859). Funciones de una variable real o compleja. Teoría de números. Series e integrales trigonométricas. Ecuaciones en derivadas parciales.

 

Dirichlet, condiciones de

Sea f una función reglada sobre un intervalo I de la recta real y con valores en un espacio vectorial normado. Se dice que f satisface las condiciones de Dirichlet si para todo punto x interior a I,

f( x+) -f( x-) = 2f( x)

y si para cada extremo de I, f es continua.

Función numérica definida sobre la recta real que toma el valor 0 para los números irracionales y 1 para los racionales. Es decir, la función característica de los racionales.

 

Dirichlet, principio de (principio del máximo)

Sea f una función con valores complejos continua sobre un disco cerrado y armónica sobre el interior del disco. El máximo de | f| es alcanzado sobre la frontera del disco (y en ningún punto interior si f no es constante).

 

Dirichlet, problema de

Dada una función f de valores complejos y continua sobre la circunferencia de centro O y radio R, prolongar f a una función continua sobre el disco cerrado de centro O y radio R, que sea además armónica en el interior de este disco. Este problema de Dirichlet admite una única solución.

 

disco

Las bolas cerradas (respectivamente abiertas) de un plano euclídeo se llaman discos cerrados (respectivamente abiertos).

 

discreta, topología

Sea E un conjunto. El conjunto de todas las partes (subconjuntos) de E es una topología sobre E que llamamos topología discreta. El conjunto E dotado de esta topología se llama espacio discreto. Cuando un grupo (o un anillo o un cuerpo) se dota de esta topología se llama grupo (o anillo o cuerpo) discreto. Es posible obtener una topología discreta mediante el uso de una métrica. En efecto, la aplicación

d:E×E® R

definida por d(x,y) = 1 si x es distinto de y, d( x,y) = 0 si x = y es una distancia en E que da lugar a la topología discreta.

Sea K un cuerpo conmutativo y sea P un polinomio de grado mayor que dos y coeficientes en el cuerpo K. Se llama discriminante de P, y lo notamos por D( P) al determinante de Sylvester de los polinomios P y P^¢. Cuando K es algebraicamente cerrado, para que P tenga una raíz múltiple es necesario y suficiente que su discriminante sea nulo. Sea E un espacio vectorial sobre K de dimensión finita y consideremos una forma bilineal f (o sesquilineal si el cuerpo es complejo) sobre E. Sea B una base de E. El discriminante de f en la base B, que se nota por D_B(f) , es el determinante de la matriz de f respecto de la base B. Si la forma bilineal es no degenerada, el discriminante es diferente de cero. Recíprocamente, si existe una base B, respecto de la cual el discriminante de f es no nulo, entonces la forma es no degenerada.

 

disjunto

Dos conjuntos son disjuntos si su intersección es vacía. En caso contrario se dirá que se cortan.

 

distancia

Se llama distancia o métrica sobre un conjunto E a una aplicación d:E²® R, que satisface las siguientes condiciones:

El número d( x,y) es entonces la distancia entre los puntos x e y. El par ( E,d) recibe el nombre de espacio métrico. En todo espacio métrico es posible ''extender'' la distancia al conjunto de sus partes. Definimos la distancia entre dos partes P y Q de un espacio métrico ( E,d) como el valor

Se comprueba fácilmente que esta distancia está bien definida  Cuando una de las dos partes se reduce a un punto, por ejemplo, P = { x} , la distancia entre estas dos partes se llama distancia de x a Q y se nota por d( x,Q) .

Sea G un grupo cuya ley está notada de forma multiplicativa. Un subgrupo H de G se llama distinguido si para todo elemento x de G y todo elemento y de H, el elemento xyx^-1 pertenece a H. Un subgrupo es distinguido si y sólo si es igual a todos sus conjugados.

 

distribución

Sea D el espacio vectorial de las funciones a valores complejos definidas sobre el espacio vectorial euclídeo Rⁿ, indefinidamente diferenciables y con soporte compacto. En este espacio, se dice que una sucesión ( f_p) converge hacia 0 si los soportes de las funciones f_p están contenidos en un mismo compacto y si todas las derivadas parciales sucesivas de f_p convergen uniformemente a 0 en Rⁿ. Una distribución en Rⁿ es una forma lineal T definida en D, de manera que toda sucesión ( f_p) convergente a cero en D da lugar a una sucesión T( f_p) también convergente a 0. La notación para el valor que toma la distribución T en una función f es á T,f ñ .

 

distribución de probabilidad

Sea X una variable aleatoria sobre un espacio probabilístico ( W,A,P) , cuyo conjunto de valores S es numerable. La función numérica f definida sobre S por la relación

f( x) = P( X-1( x) )

se llama distribución de la variable aleatoria X. Esta función sólo toma valores positivos y además

å x Î S f( x) = 1

Esto significa que tal distribución define una ley de probabilidad sobre S.

Sea E un conjunto dotado de dos leyes de composición notadas por ^ y T. Se dice que la ley T es distributiva respecto de la ley ^ si se cumple que xT(y^z) = ( xTy) ^( xTz) y también ( y^z) Tx = ( yTx) ^( zTx)  Es sencillo comprobar que si la ley T es conmutativa, las dos condiciones anteriores son equivalentes.

 

divergencia

Sea V un campo de vectores diferenciable sobre un abierto U de un espacio vectorial normado E de dimensión finita. Sea B una base de E y sean P₁,P₂,...,P_n las componentes de V en dicha base. Entonces, la divergencia se define como

divV =  n å i = 1 ¶Pi ¶xi

 

divergente

Contrario de convergente.

 

divisibilidad

Sea A un anillo íntegro (dominio de integridad). La relación binaria definida en A^* = A-{ 0} , definida por los pares ( x,y) tales que x es divisor de y es una relación de preorden llamada de divisibilidad y notada por x|y.  

 

divisible

Ver divisor.

 

división según potencias crecientes

Sean p un entero no negativo y A y B polinomios con coeficientes X en un cuerpo conmutativo K, siendo la valoración de B nula. Existe entonces un par ( Q,R) único de polinomios con coeficientes en K tales que

A = BQ+Xp+1+1R

con el grado de Q menor o igual que p. Los polinomios Q y R se llaman, respectivamente, cociente y resto de orden p de la división de A por B según potencias crecientes.

Ver euclídea, división.

Sean a y b elementos de un anillo A. Se dice que b es un divisor de a si existe un elemento q de A tal que a = bq. Se dice también que b divide a a, que a es divisible por b o bien que a es múltiplo de b.

 

divisor de cero

 

Sea A un anillo. Un divisor de cero por la izquierda es un elemento a de A de forma que existe un elemento no nulo b de A tal que ab = 0. Análogamente, un divisor de cero por la derecha es un elemento a del anillo A para el que existe un elemento b de A no nulo y tal que ba = 0. Es evidente que si A es conmutativo los divisores de cero por la derecha y la izquierda son los mismos.

 

dominada, aplicación

Sean ( E,d) un espacio métrico, P una parte de E, x₀ un punto adherente de P y F un espacio vectorial normado. Consideremos un par de aplicaciones ( f,g) de P en F. Se dice que f está dominada por g en un entorno de x₀, si existe un entorno V de x₀ y un número positivo M, tales que para todo punto de VÇP se cumple

|| f(x)|| £ M|| g(x)||

Se nota entonces f £ g (notación de Hardy) o bien f = O( g) , notación de Landau. La relación binaria definida de esta manera es una relación de preorden.

Ver Lebesgue, Teorema de

 

dominio

Sea E un espacio topológico. Generalmente, se llama dominio a toda parte no vacía abierta y conexa de E.

 

dual

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K y sea F( E,K) el espacio sobre K de las formas lineales sobre E.con las operaciones usuales. Tal espacio se llama dual de E y se nota por E^*. Cuando E es de dimensión finita sobre K, las dimensiones de E y E^* coinciden. Cuando E es de dimensión infinita también lo es E^* pero los dos espacios no son necesariamente isomorfos.

 

dual topológico

Sea E un espacio vectorial topológico. El conjunto C( E,K) de las formas lineales continuas sobre E es un subespacio del dual E^* y recibe el nombre de dual topológico de E.

 

dual, base

Sea E un espacio vectorial de dimensión finita no nula sobre un cuerpo conmutativo K y sea B = ( e_i) una base de E. La familia ( f_j)  de las formas lineales definidas en E y cuyos valores son

fj( ei) =  ì í î 1 si i = j 0 si i ¹ j

es una base del dual E^* que recibe el nombre de base dual y se nota por B^*. En el caso de un espacio vectorial de dimensión infinita, las formas lineales definidas anteriormente son linealmente independientes pero no constituyen una base del dual.

diferencial, ecuación

Sea E un espacio vectorial normado y sea f una aplicación continua de un abierto U de R ×E en E, la ecuación 

se llama ecuación diferencial de primer orden en el campo real. Una solución de esta ecuación es una aplicación f derivable sobre un intervalo I de la recta real con valores en E, tal que para todo punto x de I, el par (x f(x)) pertenece a U y verifica 

Una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma: 

donde a(x) es una aplicación continua de un intervalo J de R en el espacio de los endomorfismos continuos de E y b(x) una aplicación continua de J en E. Con mayor generalidad podemos considerar un entero n superior a 1 y una aplicación f continua de un abierto U de Rⁿ ×E en E. La ecuación: 

se llama ecuación diferencial de orden n en el campo real. Una solución f de esta ecuación es una aplicación n veces derivable sobre un intervalo I de la recta real y con valores en E tal que, para todo punto x de I, se cumple que la n+1-tupla: 

pertenece a U y verifica: 

Se llama problema de Cauchy relativo a un elemento (x₀,y₀,y₁, ...,y_n-1-1) de U a la búsqueda de soluciones f tales que f(x₀) = y₀,     f^¢(x₀) = y₁, ...,f^(n-1)(x₀) = y_n-1-1 (condiciones éstas que llamamos iniciales o de contorno). Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de la forma 

donde a₀(x), a₁(x), ¼, a_n-1-1(x) son aplicaciones continuas de un intervalo J de la recta real en el espacio vectorial de los endomorfismos de E y b(x) una aplicación continua de J en E.

Sean E un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo de los complejos y f una aplicación holomorfa de un abierto U de C×Eⁿ en E. La ecuación 

se llama ecuación diferencial de orden n en el campo complejo. Una solución f de esta ecuación es una aplicación holomorfa de un abierto conexo D de C en E, tal que para todo punto z Î D, la (n+1)-tupla definida por (z, f(z), f^¢(z), ..., f^(n-1)(z))es un elemento de U y verifica 

diferencial, forma

Supongamos que E es un espacio vectorial normado de dimensión finita sobre el cuerpo de los números reales y que U es un abierto de E. Sea E_C el espacio vectorial de las formas lineales de E con valores complejos y sea E_C^* el espacio dual del anterior. Se llama forma diferencial de grado 1 sobre U a una aplicación de U en E_C^*. Si f es una función con valores complejos y diferenciable sobre U, la diferencial df es una forma diferencial sobre U. Más generalmente, para todo entero natural no nulo p, se llama forma diferencial de grado p sobre U a una aplicación de U en el espacio vectorial de las formas p-lineales alternadas definidas sobre el espacio vectorial de las formas lineales f:E® C.

diferencial de un polinomio

Sea K un cuerpo conmutativo y sean los conjuntos K[X₁,X₂,...,X_p,Y₁,Y₂,...,Y_p] el álgebra de los polinomios en 2p indeterminadas con coeficientes en K, L = K[X₁,X₂,...,X_p] la subálgebra unitaria engendrada por X₁,X₂,...,X_p y P un elemento de L. La componente 1-homogénea del polinomio P( X₁+Y₁,X₂+Y₂,...,X_p+Y_p) , considerado como elemento de L[Y₁,Y₂,...,Y_p] se llama diferencial de P y se nota dP.

diferencial, variedad

Sea E un espacio topológico. Se llama carta de E a una terna c = ( U,n,f) , formada por un abierto U de E , un natural n y un homeomorfismo f de U sobre un abierto de Rⁿ. El abierto U se llama dominio de definición de c y n su dimensión. Se dice que dos cartas con el mismo dominio c = (U,n,f) y c^¢ = ( U,n^¢,f^¢) son compatibles si los dos homeomorfismos compuestos f^¢°f^-1 y f°( f^¢) ^-1 son indefinidamente diferenciables. Se dice que dos cartas cualesquiera c = ( U,n,f) y c^¢ = ( U^¢,n,f) son compatibles si la intersección de sus dominios UÇU^¢ es vacía o en el caso de que tal intersección no sea vacía, las restricciones ( UÇU^¢,n,f\diagup UÇU^¢) ,  ( UÇU^¢,n^¢,f^¢\diagup UÇU^¢) son compatibles teniendo en cuenta que tienen el mismo dominio. Un atlas de E es una colección de cartas de E compatibles dos a dos y cuyos dominios de definición forman un recubrimiento de E. En el caso de tener un par de atlas  y Á se dice que son compatibles si toda carta de  es compatible con toda carta de Á. La relación de compatiblidad así definida resulta una relación de equivalencia. Un atlas  es de dimensión n si todas sus cartas son de dimensión n. Para acabar, una variedad diferencial no es más que un espacio topológico separado E dotado de una clase de equivalencia de atlas. Si tales atlas son de dimensión n, la variedad diferencial también se llama n-dimensional.

dilatación

Véase afinidad; homotecia.

dimensión

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K . Decimos que es de dimensión finita si es posible encontrar una parte finita de E que sea sistema generador. En caso contrario se dice que E es de dimensión infinita. En el caso de que E sea de dimensión finita podemos comprobar que todas las bases son finitas y tienen el mismo cardinal. Este cardinal común n se llama dimensión de E.y se nota por dim( E) Cuando E se reduce al vector 0 se dice que es de dimensión cero. Si el espacio E es de dimensión finita también lo es cualesquiera de sus subespacios. Sea A un espacio afín asociado a un espacio vectorial E. Se dice que A es de dimensión finita si E lo es. La dimensión de A es entonces la de E y se nota de forma análoga dim( A) .

Dini, Ulises

Matemático italiano (Pisa,1845-Pisa,1918).

Dini, teorema de

Sea E un espacio compacto y sea (f_n) una sucesión de funciones numéricas finitas definidas y continuas sobre E convergiendo de manera simple a una función numérica finita f. Si la sucesión es monótona y f es continua, la sucesión ( f_n) converge uniformemente a f.

Diofanto de Alejandría

Matemático griego (Alejandría, 325-Alejandría, 410). Su fama reside en su obra Aritmética, donde podemos encontrar numerosas proposiciones sobre teoría de números, así como el estudio de las ecuaciones que llevan su nombre.

Diofanto, ecuaciones 

de (diofánticas)

Ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros de varias variables cuyas soluciones también se suponen enteras. Por ejemplo, si m y n son naturales y se busca que x , y, z sean enteros, la ecuación

x2-m2y = zn

es una ecuación diofántica

Dirac, Paul Adrien Maurice

Matemático y físico inglés (Bristol, 1902, Tallahassee(Florida), 1984). Mecánica Ondulatoria, Mecánica Cuántica, Física Matemática.

Dirac, medida de

Sean E un espacio topológico localmente compacto y a un punto de E. Se llama medida de Dirac en el punto a y se nota por d_a la medida sobre E definida por

da( f) = f( a)

Cuando E es Rⁿ y a es el vector nulo, la medida se nota simplemente por d.

dirección

Véase  afín, variedad lineal

directa, base

Sea E un espacio vectorial orientado. Se dice que una base B de E es directa si la orientación definida por B es la misma que la de E.

directa, imagen

Sea f una aplicación de un conjunto E en un conjunto F. La imagen de una parte de E por f se llama generalmente imagen directa. Esto se hace para evitar confusiones con las imágenes de partes de F, las cuales se llaman inversas.

directa, suma

directo, automorfismo

Sea E un espacio vectorial de dimensión finita y no nula sobre el cuerpo de los números reales. Se dice que un automorfismo de E es directo si su determinante es estrictamente positivo. En el caso de un espacio afín A con espacio vectorial asociado E, diremos que un automorfismo afín de A es directo si el automorfismo asociado de E lo es.

directo, factor

Un submódulo F de un módulo E sobre un anillo unitario y conmutativo A se dice que es un factor directo de E si posee un submódulo suplementario G en E. Es decir, si podemos hallar un submódulo G tal que FÅG = E. En el caso de los espacios vectoriales todo subespacio es factor directo ya que todo subespacio posee un subespacio suplementario.

directo, par

Sea E un espacio vectorial orientado. Un par (E₁,E₂) de subespacios vectoriales de E que sean suplementarios y no triviales, es directo siempre que la orientación que define el par coincida con la orientación de E.

directo, producto

director, coeficiente

Sea P un plano afín real con un sistema de referencia cartesiano y sean a,b dos números reales y D la recta afín con ecuación y = ax+b. El número a se llama coeficiente director de D. En el caso de que el plano afín P sea euclídeo y la referencia ortonormal, el valor a se llama pendiente de la recta D.

director, coseno

Consideremos un espacio afín A y euclídeo con dimensión finita y dotado de un sistema de referencia cartesiano ortonormal ( O,B) . Sea también D un eje y u un vector unitario de D. Los componentes de u en la base B no son otros que los cosenos de los ángulos que forma u con cada uno de los vectores de la base, es por esto  por lo que se les llama cosenos directores del eje D.

director, vector

Sea D una recta afín. Se llama vector director de D a todo vector no nulo de la dirección de D.

Dirichlet, Peter 

Gustav Lejeune

Matemático alemán (Düren, 1805-Gotinga, 1859). Funciones de una variable real o compleja. Teoría de números. Series e integrales trigonométricas. Ecuaciones en derivadas parciales.

Dirichlet, condiciones de

Sea f una función reglada sobre un intervalo I de la recta real y con valores en un espacio vectorial normado. Se dice que f satisface las condiciones de Dirichlet si para todo punto x interior a I,

f( x+) -f( x-) = 2f( x)

y si para cada extremo de I, f es continua.

Dirichlet, función de

Función numérica definida sobre la recta real que toma el valor 0 para los números irracionales y 1 para los racionales. Es decir, la función característica de los racionales.

Dirichlet, principio de 

(principio del máximo)

Sea f una función con valores complejos continua sobre un disco cerrado y armónica sobre el interior del disco. El máximo de | f| es alcanzado sobre la frontera del disco (y en ningún punto interior si f no es constante).

Dirichlet, problema de

Dada una función f de valores complejos y continua sobre la circunferencia de centro O y radio R, prolongar f a una función continua sobre el disco cerrado de centro O y radio R, que sea además armónica en el interior de este disco. Este problema de Dirichlet admite una única solución.

disco

Las bolas cerradas (respectivamente abiertas) de un plano euclídeo se llaman discos cerrados (respectivamente abiertos).

discreta, topología

Sea E un conjunto. El conjunto de todas las partes (subconjuntos) de E es una topología sobre E que llamamos topología discreta. El conjunto E dotado de esta topología se llama espacio discreto. Cuando un grupo (o un anillo o un cuerpo) se dota de esta topología se llama grupo (o anillo o cuerpo) discreto. Es posible obtener una topología discreta mediante el uso de una métrica. En efecto, la aplicación

d:E×E® R

definida por d(x,y) = 1 si x es distinto de y, 

d( x,y)= 0 si x = y es una distancia en E que da lugar a la topología discreta.

discriminante

Sea K un cuerpo conmutativo y sea P un polinomio de grado mayor que dos y coeficientes en el cuerpo K. Se llama discriminante de P, y lo notamos por D( P) al determinante de Sylvester de los polinomios P y P^¢. Cuando K es algebraicamente cerrado, para que P tenga una raíz múltiple es necesario y suficiente que su discriminante sea nulo. Sea E un espacio vectorial sobre K de dimensión finita y consideremos una forma bilineal f (o sesquilineal si el cuerpo es complejo) sobre E. Sea B una base de E. El discriminante de f en la base B, que se nota por D_B(f) , es el determinante de la matriz de f respecto de la base B. Si la forma bilineal es no degenerada, el discriminante es diferente de cero. Recíprocamente, si existe una base B, respecto de la cual el discriminante de f es no nulo, entonces la forma es no degenerada.

disjuntos 

Dos conjuntos son disjuntos si su intersección es vacía. En caso contrario se dirá que se cortan.

distancia

Se llama distancia o métrica sobre un conjunto E a una aplicación d:E²® R, que satisface las siguientes condiciones:

El número d( x,y) es entonces la distancia entre los puntos x e y. El par ( E,d) recibe el nombre de espacio métrico. En todo espacio métrico es posible ''extender'' la distancia al conjunto de sus partes. Definimos la distancia entre dos partes P y Q de un espacio métrico ( E,d) como el valor

Se comprueba fácilmente que esta distancia está bien definida  Cuando una de las dos partes se reduce a un punto, por ejemplo, P = { x} , la distancia entre estas dos partes se llama distancia de x a Q y se nota por d( x,Q) .

distinguido

Sea G un grupo cuya ley está notada de forma multiplicativa. Un subgrupo H de G se llama distinguido si para todo elemento x de G y todo elemento y de H, el elemento xyx^-1 pertenece a H. Un subgrupo es distinguido si y sólo si es igual a todos sus conjugados.

distribución

Sea D el espacio vectorial de las funciones a valores complejos definidas sobre el espacio vectorial euclídeo Rⁿ, indefinidamente diferenciables y con soporte compacto. En este espacio, se dice que una sucesión ( f_p) converge hacia 0 si los soportes de las funciones f_p están contenidos en un mismo compacto y si todas las derivadas parciales sucesivas de f_p convergen uniformemente a 0 en Rⁿ. Una distribución en Rⁿ es una forma lineal T definida en D, de manera que toda sucesión ( f_p) convergente a cero en D da lugar a una sucesión T( f_p) también convergente a 0. La notación para el valor que toma la distribución T en una función f es á T,f ñ .

distribución de 

probabilidad

Sea X una variable aleatoria sobre un espacio probabilístico ( W,A,P) , cuyo conjunto de valores S es numerable. La función numérica f definida sobre S por la relación

f( x) = P( X-1( x) )

se llama distribución de la variable aleatoria X. Esta función sólo toma valores positivos y además

å x Î S f( x) = 1

Esto significa que tal distribución define una ley de probabilidad sobre S.

distributivo

Sea E un conjunto dotado de dos leyes de composición notadas por ^ y T. Se dice que la ley T es distributiva respecto de la ley ^ si se cumple que xT(y^z) = ( xTy) ^( xTz) y también ( y^z) Tx = ( yTx) ^( zTx)  Es sencillo comprobar que si la ley T es conmutativa, las dos condiciones anteriores son equivalentes.

divergencia

Sea V un campo de vectores diferenciable sobre un abierto U de un espacio vectorial normado E de dimensión finita. Sea B una base de E y sean P₁,P₂,...,P_n las componentes de V en dicha base. Entonces, la divergencia se define como

divergente

Contrario de convergente.

divisibilidad

Sea A un anillo íntegro (dominio de integridad). La relación binaria definida en A^* = A-{ 0} , definida por los pares ( x,y) tales que x es divisor de y es una relación de preorden llamada de divisibilidad y notada por x|y.  

divisible

Véase  divisor.

división según 

potencias crecientes

Sean p un entero no negativo y A y B polinomios con coeficientes X en un cuerpo conmutativo K, siendo la valoración de B nula. Existe entonces un par ( Q,R) único de polinomios con coeficientes en K tales que

A = BQ+Xp+1+1R

con el grado de Q menor o igual que p. Los polinomios Q y R se llaman, respectivamente, cociente y resto de orden p de la división de A por B según potencias crecientes.

división según 

potencias decrecientes

Véase euclídea, división.

divisor

Sean a y b elementos de un anillo A. Se dice que b es un divisor de a si existe un elemento q de A tal que a = bq. Se dice también que b divide a a, que a es divisible por b o bien que a es múltiplo de b.

divisor de cero

Sea A un conjunto con estructura de  anillo. Un divisor de cero por la izquierda es un elemento a de A de forma que existe un elemento no nulo b de A tal que ab = 0. Análogamente, un divisor de cero por la derecha es un elemento a del anillo A para el que existe un elemento b de A no nulo y tal que ba = 0. Es evidente que si A es conmutativo los divisores de cero por la derecha y la izquierda son los mismos.

dominada, aplicación

Sean ( E,d) un espacio métrico, P una parte de E, x₀ un punto adherente de P y F un espacio vectorial normado. Consideremos un par de aplicaciones ( f,g) de P en F. Se dice que f está dominada por g en un entorno de x₀, si existe un entorno V de x₀ y un número positivo M, tales que para todo punto de VÇP se cumple

|| f(x)|| £ M|| g(x)||

Se nota entonces f £ g (notación de Hardy) o bien f = O( g) , notación de Landau. La relación binaria definida de esta manera es una relación de preorden.

dominada, teorema 

de convergencia

Véase Lebesgue, Teorema de

dominio

Sea E un espacio topológico. Generalmente, se llama dominio a toda parte no vacía abierta y conexa de E.

dual

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K y sea F( E,K) el espacio sobre K de las formas lineales sobre E.con las operaciones usuales. Tal espacio se llama dual de E y se nota por E^*. Cuando E es de dimensión finita sobre K, las dimensiones de E y E^* coinciden. Cuando E es de dimensión infinita también lo es E^* pero los dos espacios no son necesariamente isomorfos.

dual topológico

Sea E un espacio vectorial topológico. El conjunto C( E,K) de las formas lineales continuas sobre E es un subespacio del dual E^* y recibe el nombre de dual topológico de E.

dual, base

Sea E un espacio vectorial de dimensión finita no nula sobre un cuerpo conmutativo K y sea B = ( e_i) una base de E. La familia ( f_j)  de las formas lineales definidas en E y cuyos valores son

fj( ei) =  ì í î 1 si i = j 0 si i ¹ j

es una base del dual E^* que recibe el nombre de base dual y se nota por B^*. En el caso de un espacio vectorial de dimensión infinita, las formas lineales definidas anteriormente son linealmente independientes pero no constituyen una base del dual.

duodecimal

De base doce.

duplicación del cubo

Construcción de un cubo que tenga por volumen el doble de un cubo dado. Dicho de otra manera, resolución de la ecuación x³ = 2. Este problema recibió una solución gráfica hacia el año 100 antes de Cristo. No es resoluble mediante regla y compás, como lo prueba la teoría de Galois.