Extracto del libro: “20 MATEMATICOS CELEBRES “ Autor: Francisco Vera ed. Los libros del mirasol . Bs As 1961.(Págs. 47-69)

 Capítulo III

UN DESAFIO MATEMÁTICO ( Segunda Parte)

 

Cardano y Tartaglia:

De Jerónimo Cardano se sabe más. Nació en Pavía el 24 de septiembre de 1501 y su vida es una serie de actos incoherentes que pertenecen tanto a la historia de la Matemática como a la de la Astrología y a la de la Patología.

Hijo de un jurisconsulto milanés, Cardano estudió primero en su ciudad natal y después en la Universidad de Padua, donde alcanzó la licenciatura en Medicina, que ejerció en Sacco y en Milán en el período 1524-1556 durante el cual estudió Matemática y publicó sus principales obras( desde 23 a 55 años). Después de viajar por Francia, Inglaterra y Escocia, regresó a Milán ocupando, en 1534, una cátedra en la Academia Palatina, donde pronunció un Econium geometriae, recogido después en la edición de sus obras completas; pero perdió la cátedra en un concurso contra Zuanne del Coi y se trasladó a Pavía.

Gracias al apoyo del cardenal legado consiguió un puesto en la Universidad de Bolonia; pero, como dice Marie en su Histoire des sciences mathematiques, “no muy honesto, un poco astrólogo y charlatán y otro poco ateo y soplón”, hizo el horóscopo de Jesucristo y, naturalmente, dio con sus huesos en la cárcel el 14 de octubre de 1570, de la que salió un año después bajo palabra de no volver a dar lecciones públicas en ninguno de los Estados pontificios, y marchó a Roma, donde ejerció la Astrología con tanto éxito que llegó a ser el astrólogo más renombrado de su época. Este renombre le fue fatal, porque habiendo pronosticado el día de su muerte, se suicidó –21 de septiembre de 1576- para dejar a salvo su reputación.

En De vita propia hace su autobiografía con estas palabras: “He recibido de la Naturaleza un espíritu filosófico e inclinado a la Ciencia. Soy ingenioso, amable, elegante, voluptuoso, alegre, piadoso, amigo de la verdad, apasionado por la meditación, y estoy dotado de talento inventivo y lleno de doctrina. Me entusiasman los conocimientos médicos y adoro lo maravilloso. Astuto, investigador y satírico, cultivo las artes ocultas. Sobrio, laborioso, aplicado, detractor de la religión, vengativo, envidioso, triste, pérfido y mago, sufro mil contrariedades. Lascivo, misántropo, dotado de facultades adivinatorias, celoso, calumniador e inconstante, contemplo el contraste, entre mi naturaleza y mis costumbres”.

Estas absurdas y contradictorias palabras, de caótica ilación, demuestran que Cardano era un perturbado cuyo estudio clínico  será de indiscutible valor documental. Ególatra, no pensaba más que en sí mismo y no tenía otra preocupación que su propia persona, hasta  el extremo de que al día de su nacimiento, le daba importancia capital en la historia de la humanidad.

Sus taras patológicas las heredaron sus hijos, el mayor de los cuales fue ajusticiado en 1560 por haber envenenado a su mujer , y el más pequeño cometió errores de conducta  tan graves que el propio Cardano no se atrevió a ordenar y que le condujeron a la cárcel, no sin que antes su padre le cortara las orejas en un acceso de cólera, acto criminal que no fue castigado gracias a la protección de Gregorio XIII, en cuya corte Cardano prestaba servicios como astrólogo.

Tartaglia y Cardano son los principales protagonistas de una de las más enconadas polémicas que registra la historia de la Matemática: la relativa a la ecuación de tercer grado.

Loa árabes habían resuelto algunas de estas ecuaciones geométricamente, pero su estudio sistemático corresponde a los italianos y provocó, como se acaba de indicar, una famosa disputa, de acuerdo con el carácter de la época, que gustaba de los torneos y discusiones científicas. “Al ver los problemas de tercer grado que se proponían como desafío a principios del siglo XVI –dice Libri en su Historie des sciences mathematiques en Italie- se comprende la importancia que se daba entonces a los descubrimientos algebraicos, siendo difícil encontrar en la historia de la Ciencia un ejemplo semejante. Las apuestas y discusiones públicas se sucedían sin interrupción, interesándose en ellas, todas las clases sociales, como en la antigüedad se interesaban por los desafíos de los poetas y los combates de los gladiadores”.

Aunque todavía no se ha dicho la última palabra sobre la cuestión objeto de este trabajo, parece que los primeros problemas de tercer grado fueron propuestos a Tartaglia en 1530, estando en Brescia, por medio de Zuanne del Coi, profesor de Milán, quien le pidió que resolviera estas dos cuestiones:

I.      Encontrar un número que, multiplicado por su raíz aumentada en 3, dé 5;

II.    Encontrar tres números que se diferencien en 2 y cuyo producto sea 1000.

Los que tengan conocimientos matemáticos comprenderán enseguida que se trata de resolver sendas ecuaciones de tercer grado, que Pacioli había declarado imposibles, pero que Tartaglia afirmó que eran resolubles.

Enterado de esta actitud, Antonio del Fiore calificó de impostor a Tartaglia diciendo que él conocía un método empírico para resolver la ecuación cúbica que le había enseñado su maestro Escipión del Ferro, el cual lo vió probablemente en alguna obra árabe.

Tartaglia contestó que sabía resolver las ecuaciones de los tipos:    x3 + px=q     y   x3 =px + q    y que la       x3 + q=px, siendo p y q positivos, quedaba reducida a la primera por medio de una transformación fácil.

Fiore desafió entonces a Tartaglia y, aceptado el reto, ambos depositaron en poder de un notario cierta cantidad  de dinero que ganaría quien resolviera treinta problemas  en el plazo máximo de cuarenta días. Tartaglia los resolvió todos en menos de dos horas y resumió sus reglas en los siguientes versos técnicos:

            Quano che’l cubo con le cose appresso

           se agguaglia a qualche numero discreto:

          trovan dui altri, differenti in esso.

Dapoi terrain, questo per consueto,

Che’l loro produtto, sempre sia eguale

Al terzo cubo della cose neto;

El residuo poi suo generale,

Delli lor lati cubi, ben sottratti

Varra la tua cosa principale.

In el secondo, de cotesti atti;

Quando che’l cubo restasse lui solo,

Tu osserverai quest’altri contratti,

Del numer farai due tal part’a volo,

Che l’una, in l’atra, si produca schietto,

El terzo cubo delle cose in stolo;

Delle quali poi, per común precetto,

Torrai li latí cubi, insieme gionti,

Et co tal Osma, será il tuo concetto;

El terzio, poi de questi nostri conti,

Se solve col segundo, se ben guardi

Che per natura son quasi congionti.

Questi trovai, et non con pasi tardi

Nell mille cinquecent’e quatro e trenta;

Con fondamenti ben saldi, e gagliardi;

Nella citté del mar’intorno centa.

 

Fijándonos en el primer caso, que basta para captar la regla de Tartaglia, los versos mnemotécnicos dicen traducidos literalmente: “Cuando el cubo con las cosas cerca – se iguala a cualquier número discreto – se encuentran otros dos, diferentes en eso – Después tendrás esto por norma – que su producto sea siempre igual – al tercio cubo de las cosas limpio; - el resto después suyo general – de sus lados el cubo bien restado – verás tu cosa principal”; es decir, en el lenguaje matemático moderno: Si el cubo x3 más un múltiplo px de la cosa –incógnita- es igual a un cierto número q, determinemos, por los métodos habituales, dos números y y z cuya diferencia sea q y cuyo producto sea el cubo del tercio del coeficiente de la incógnita; se extraen sus raíces cúbicas, y, restándolas, se tiene el valor de x, valor que, como se puede comprobar, está obtenido por el mismo método que suele explicarse en los tratados de Álgebra.

Los últimos versos indican el lugar: Venecia, y la fecha: 1534, del descubrimiento: “Esto encontré, y no con paso tardo – en mil quinientos treinta y cuatro – con fundamento sólido y gallardo – en la ciudad que rodea el mar.”

Triunfante el matemático de Brescia, el asunto parece que quedó zanjado hasta que un año después lo resucitó Coi enviando a Tartaglia, el 12 de septiembre de 1535, tres problemas, uno de los cuales consistía en descomponer el número 20 en tres partes en progresión geométrica tales que el producto de las dos primeras sea 8, problema que Luis Ferrari, discípulo de Cardano, consiguió resolver.

Pasó otro año más y, en agosto de 1536, un tal Vincenti propuso a Tartaglia el problema de encontrar un número que,  multiplicado por su raíz cuadrada aumentada en 6, dé 100, problema que, como se ve, es idéntico a uno de los propuestos en 1530 por Coi, quien, el 10 de diciembre del mismo año de 1536, le planteó nuevas cuestiones análogas que no se sabe si fueron resueltas; y el asunto volvió a un punto muerto aparente, puesto que Tartaglia seguía  trabajando en ello, pero sin dar a conocer el resultado de sus investigaciones.

Y en 1539 entra  en escena Cardano, enviando a Tartaglia, con fecha 2 de enero, una carta por intermedio de un librero, en la que le dice que, conocedor del resultado de su disputa con Fiore y estando a punto de publicar una obra, quería incluir en ella la fórmula de la ecuación de tercer grado y consignar el nombre de su descubridor , por lo cual le rogaba que le comunicase todo lo que se relacionara con el asunto y muy especialmente los enunciados de los famosos treinta problemas.

Tartaglia se negó a ello y entonces Cardano, irritado, le envió sobre el mismo conducto, el 12 de febrero de 1539, otra carta llena de reproches; pero, comprendiendo que no era éste el camino adecuado para conseguir lo que quería, cambió de táctica y, con amables palabras, le instó el 13 de marzo del mismo año a pasar unos días en Milán, donde le decía que le esperaba con impaciencia el marqués del Vasto, protector suyo y mecenas de los científicos.

Aceptó Tartaglia la invitación, y el 25 de marzo se dirigió a Milán, hospedándose en casa del propio Cardano luego de saber que el marqués se había marchado a Vigevano. El matemático milanés procuró convencer por todos los medios a su colega para que le dijera el secreto de la ecuación cúbica. “Os juro sobre los santos Evangelios –le dijo- que si me comunicáis vuestros descubrimientos no los publicaré jamás y los anotaré sólo para mi en cifra, a fin de que nadie pueda comprenderlos hasta después de mi muerte.”

Tartaglia cedió, al fin, a tan insistentes ruegos y regresó a Venecia, desde donde se carteó  con Cardano –12 y 17 de mayo; 10 y 19 de julio; 4 de agosto y 18 de octubre de 1539- sobre algunos desarrollos complementarios.

A través de esta correspondencia  se advierte que las relaciones entre ambos se iban enfriando, y la carta de Cardano del 5 de enero de 1540 quedó ya sin respuesta.

Auxiliado por su discípulo Ferrari, aquel consiguió ampliar las reglas de Tartaglia, y en 1545 publicó su famosa Ars Magna, en cuyo primer capítulo dice lo siguiente:”Escipión del Ferro, de Bolonia, encontró hace tiempo nuestro capítulo verdaderamente bello y admirable Del cubo y de las cosas iguales a número. Tal arte, superando a toda humana sutileza y al esplendor de todo ingenio mortal, atestigua el valor de su mente, y es cosa de tanta maravilla que quien la ha inventado puede vanagloriarse de que nadie la superará. Émulo suyo es mi amigo Nicolás Tartaglia, de Brescia, quien, en una disputa que sostuvo con Antonio María del Fiore, discípulo de Escipión del Ferro, también lo encontró y me lo comunicó a mi ruego, sin demostración, la cual la he redactado en diferentes casos con el auxilio de mi antiguo discípulo Luis Ferrari. Lo de éste va con su nombre y todo lo demás es cosa mía”.

Irritado por estas palabras sinuosas, Tartaglia desafió a Cardano; pero éste, deseando quedar al margen de toda disputa, se entendió con Ferrari, el cual envió a aquél desde Milán, el 10 de febrero de 1547, un cartello di fida, proponiéndole una “controversia pública en un lugar cómodo para los dos y ante jueces idóneos, sobre Geometría, Aritmética y todas las disciplinas que dependen de éstas”’ declarando estar dispuesto a hacer un depósito de doscientos escudos destinados al vencedor y dándole un plazo de treinta días para contestarle.

La respuesta no se hizo esperar. Nueve días después le escribió Tartaglia desde Venecia, aceptando, pero con la condición de que Cardano tomara parte en la contienda.

Ferrari respondió en abril del mismo año con otro cartel de desafío que agrió la cuestión. Aparte del detalle de estar escrito en latín –con la aviesa intención de poner en un apuro a Tartaglia, dada su poca cultura literaria- decía que durante un viaje de Milán a Florencia, el año de 1542, y mientras descansaba en Bolonia, Aníbal de la Nave había comunicado a Cardano un cuaderno de escipión del Ferro en el cual “estaba expuesta elegante y completamente la resolución de la ecuación cúbica”’ dato de gran interés histórico puesto que permitía poner en duda el derecho de prioridad de Tartaglia; pero demostraba también la mala fe de Cardano al ocultarlo.

El 27 de abril contesta largamente Tartaglia insistiendo en quien asistiera Cardano al torneo, en el que podían tomar parte, además, todos los matemáticos del mundo, y le planteaban treinta y un problemas, diecisiete de los cuales se refieren a construcciones con una sola abertura de compás, tema que había sido tratado por Abulguafa y por Alberto Durero, y parece que también por Escipión del Ferro; pero así como éstos utilizaban una abertura en cada caso, Tartaglia exigía que el radio fuese el mismo en todos los problemas, inspirándose, evidentemente, en consideraciones teóricas.

Ferrari contestó el 24 de mayo con una carta plagada de injurias, presentando sus contraposiciones y planteando otros problemas –treinta y uno en total- más complicados que los de Tartaglia, resolviendo veintiséis de las treinta y una cuestiones  propuestas por su rival, , incluyendo las de carácter filosófico relativas a un pasaje del Timeo de Platón y otro de Aristóteles, y termina su escrito con este verso:

Ogni  dubbioso   il   parangon   fa   certo

Revelador de su satisfacción por lo resultados conseguidos.

El 10 de agosto publicó Ferrari su cuarto cartel de desafío, en el que hay muchos insultos y poca Matemática, al cual contestó Tartaglia el 30 del mismo mes resolviendo las cuestiones que había dejado pendientes en su respuesta anterior y reiterando su deseo de que Cardano tomase parte en la discusión, adivinando, lógicamente, que este andaba entre bastidores.

El quinto cartel de Ferrari, apareció en octubre, tiene más interés. Empieza con una digresión de carácter jurídico acerca de las autoridades científicas que deben dirimir la contienda, critica después las soluciones de Tartaglia con palabras apasionadas e injustas, tras de las cuales se advierte la presencia de Cardano, y termina resolviendo algunos de los problemas propuestos por su rival el 27 de abril, es decir: que tardó seis meses en dar soluciones –Tartaglia las dio siempre inmediatamente- y ello gracias a la colaboración de Cardano, como éste mismo afirma en su obra De Subtilitate.

Tartaglia respondió diciendo que ya duraba demasiado la polémica escrita y que estaba dispuesto a dirigirse a Milán para discutir verbal y públicamente con su adversario, aprovechando la proximidad a la capital de Lombardía de Brescia, donde se encontraba a la sazón por razones profesionales.

Cerca de un año tardó Ferrari en contestar. Su respuesta, fechada el 14 de julio de 1548 es, como todas las suyas, una colección de improperios, y concluye haciendo un elogio de Cardano, de quien dice que tuvo la generosidad de citar a Tartaglia en su Ars Magna a propósito de la ecuación de tercer grado, que ya había resuelto Escipión del Ferro y conocía Antonio del Fiore.

Aceptando en principio el desafío matemático, ambos rivales llegaron a un acuerdo sobre las condiciones el día 24 de julio, citándose para el 10 de agosto en la cátedra Giardino de los recoletos de Milán.

De esta famosa polémica no conocemos, desgraciadamente más que las referencias de uno de los contendientes: Tartaglia, lo que impide juzgarla con imparcialidad.

Tanto este último episodio como el desarrollo del desfío, han sido diversamente interpretados, incluso por los propios historiadores de la Matemática italiana, y, aun hace pocos años, dos ilustres profesores: Gino Loria y Ettore Bortolotti, han adoptado posiciones opuestas: el primero a favor de Tartaglia y el segundo en defensa de Cardano.

Lo que si parece fuera de toda duda, es que la controversia oral degeneró en puerilidades en vez de aportar elementos nuevos a la teoría de ecuaciones, que era la preocupación de los matemáticos de la época, lo que no quiere decir que los Cartelli di Matemática disfida fueran  estériles, pues que permiten seguir con bastante aproximación la trayectoria histórica de la resolución  de la ecuación de tercer grado, que se puede resumir diciendo que en 1502 Pacioli la había declarado imposible, opinión que no fue compartida por Escipión del Ferro, el cual conocía en 1515 un procedimiento empírico, tomado probablemente de los árabes; pero guardó su secreto limitándose a consignarlo en un cuaderno que, a su muerte, en 1526, pasó a manos de Aníbal de la Nave, su sucesor en la cátedra de Bolonia, siendo probable que en esta ciudad se conociera la existencia de tan precioso documento, pues que ello explicaría satisfactoriamente los motivos de los problemas que Coi y Fiore propusieron en 1530 a Tartaglia y que fueron, en realidad los que le obligaron a trabajar sobre la ecuación cúbica, que consiguió resolver en 1534 y se la comunicó en 1539, bajo previo juramento ad sacra Dei de guardar el secreto, a Cardano, quien conoció tres años después, junto con Ferrari, la solución empírica de Escipión del Ferro facilitada confidencialmente por Aníbal de la Nave cuando ambos, de paso para Florencia, se detuvieron en Bolonia, 1542.

En posesión de este dato, Cardano, cuyo perfil  moral deja mucho que desear, faltó al juramento prestado y publicó la solución de la ecuación en su Ars Magna haciéndola preceder de palabras que indignaron a Tartaglia, quien desafió a Cardano ; pero éste no solo rehusó el debate (fue su discípulo Ferrari quien, manejado por él, lo sostuvo). Sino que, acosado para que asistiese a la controversia publica, huyó cobardemente de Milán a uña de caballo.

  El hombre que calculaba        Pensamientos        Números Cíclicos      

Un desafio matemático( Parte 2)     

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