de la raíz positiva de la ecuación

              x² -x-1 = 0,

que es el de la mayor longitud de las dos que se obtienen al dividir un segmento en media y extrema razón.

en la fórmula

establecida por Darboux.

Este concepto se generaliza al espacio, llamando también faja de anchura a a la parte de espacio comprendida entre dos planos paralelos a distancia a ; pero es mas correcto llamarlo estrato. La posición de una faja queda determinada sin ambiguedad por la de una recta paralela o un plano paralelo a la faja e invariablemente ligada a ligado a ella.

Introducida por éste en europa, los españoles e italianos, a partir del siglo XV, abusaron de esta regla -la regula infusa de las Artiméticas del siglo XVII- que ya no se explica en ningún texto porque no sirve para nada.

Como curiosidad histórica, diremos que era simple y doble. La simple se aplicaba para resolver problemas de tipo ax = b, poniendo x = n, de donde: an = b' y estableciendo la igualdad x : n = b : b' de la que se deduce el valor x = bn/b' ; y la dobe consistía en poner primero x = m en los problemas del tipo f(x) = h, siendo f(x) una función de primer grado, obteniéndose f(m) = h' = h + k, y luego x = n, resultando f(n) = h'' = h + j, y el valor de x es según que con los valores supuestos de m y n salieran a la vez de más o de menos los k y j.

Joseph

Louis

Véase último teorema de Fermat.

Véase , .

Esta definición se traduce, en particular, para la circunferencia en la propiedad de no poder tener más de dos puntos comunes con una recta.

No debe confundirse la figura limitada con la finita. El círculo, por ejemplo, es una figura finita e ilimitada.

Dos figuras tales que cada una de ellas es proyección paralela de la otra.

Véase afinidad.

figuras afines homológicas

Dos figuras coplanarias tales que a cada punto y a cada recta de una de  ellas le corresponden un punto y una recta de la otra. Todas las rectas que unen pares de puntos correspondientes  son paralelas entre sí y cada dos rectas correspondientes se cortan en puntos en línea recta.

figuras congruentes

Dos figuras cuyos elementos todos coinciden superponiendo la una a la otra, o también:

Dos figuras congruentes son dos posiciones distintas de una misma figura.

Si por un movimiento cualquiera hacemos coincidir los extremos A y B de un segmento rectilíneo AB con los A’ y B’, extremos  de otro A’B’, ésta superposición asocia a todo punto P de AB el punto P’ de A’B’ cuya posición ocupa el P al final del movimiento, de modo que el concepto de congruencia, nacido de tal superposición, se puede concebir como una correspondencia tal que a todo punto AB se le puede asignar un punto y uno solo de A’B’ y recíprocamente, pues a cada extremo de uno de los segmentos le corresponde un extremo del otro, y que todo segmento interior a uno de los dados se corresponda con un segmento igual del otro, con lo cual hemos restringido, desde el punto de vital lógico, la noción intuitiva de segmentos iguales, y entonces podemos ya decir:

a)    Todo segmento es igual a sí mismo

b)    Si un segmento es igual a otro, éste es igual al primero

c)    Dos segmentos iguales a un tercero, son iguales entre sí

d)    Un segmento no puede ser igual a  ninguna de sus partes

Estas propiedades nos permiten transportar segmentos y ordenarlos u orientarlos, y de ellos se deduce la inversión del segmento. Mediante un simple cambio de palabras se establecen las mismas condiciones para los ángulos.

Análogamente se define la correspondencia entre los puntos de dos planos, y  fijado el concepto de traslación, se establece:

1)    Todos los planos son iguales entre sí

2)    Todas las rectas son iguales entre sí

3)    Se puede construir un segmento ordenado y uno solo igual a otro dado que tenga su origen en un punto de la recta.

4)    Todos los ángulos llanos son iguales

5)    Dados dos segmentos o dos ángulos a y b, entre ellos existe una de estas relaciones: Ab; a > b; a < b que se completan y se excluyen mutuamente.

6)    Existen Segmentos o ángulos mayores y menores que un segmento o ángulo dado.

7)    La suma de segmentos  y de ángulos goza de las propiedades uniforme, conmutativa, asociativa y de monotonía.

figuras correlativas

 Aquellas cuyas respectivas definiciones se deducen una de otra combinando la palabra

Así, pues, son correlativas el n-gono 

En particular, el triángulo es figura correlativa de sí misma.

Si se trata de figuras espaciales, el intercambio de frases es el mismo, pero el de palabras es

y además hay que conservar la palabra recta.

Son correlativos el cubo y el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, etc. El tetraedro es correlativo de sí mismo.

De la definición de figuras correlativas resulta que a una figura formada por puntos y rectas de un plano, corresponderá otra forma por planos y rectas que pasen por un punto, y por tanto las figuras de primera, segunda, tercera y cuarta categorías, se pueden aparear de esta forma:

figuras de cuarta 

categoría

Las que tienen la misma extensión. Dos figuras son equivalentes cuando son congruentes o se pueden obtener como sumas o diferencias de figuras congruentes.

Véase postulados de equivalencia.  

Aquella entre las cuales se puede establecer una correspondencia biunívoca y continua. Son pues, equivalentes desde el punto de vista topológico.

Son dos figuras F y F’ ( planas o radiadas) entre las cuales hay una correspondencia tal que a un  ( punto o plano) de F corresponde un ( punto o plano) de F’ y a los  (puntos de una serie rectilínea   o  planos que pasan por una recta) de F corresponden los (puntos de una serie rectilínea   o  planos que pasan por una recta) de F’.

Una figura plana se dice homografica de una radiada cuando a un punto y a una recta de la primera corresponden una recta y un plano de la segunda, de modo que si aquel punto está en la recta, su recta homóloga está en el plano homólogo de dicha recta.-

Poncelet, fundó su teoría de figuras homológicas partiendo de un cuadrilátero ABCD y proyectándolo sobre un plano de modo que en la nueva figura, los lados AB, y CD, AD y BC tengan por homólogos pares de rectas paralelas, quedando así transformado el cuadrilátero en un paralelogramo.

Dos figuras tales que a cada punto de una de ellas le corresponde un punto en la otra de tal manera que la razón de sus distancias a un punto fijo es constante. Este punto fijo se llama centro de homotecia y la razón  constante es la razón de  homotecia. Si esta es (positiva o negativa), la homotecia es (directa o inversa).

De ésta definición resulta inmediatamente:

I-               El centro de homotecia es su propio homotético y el único punto que goza de esta propiedad, excepto en el caso de la homotecia directa, y la razón de homotecia es la unidad, pues entonces todo punto coincide con su homotético.

II-            La simetría central es un caso particular de la homotecia inversa.

III-          La homotecia inversa cambia el sentido de las figuras

Las propiedades fundamentales de las figuras homotéticas son:

1)    Dos figuras homotéticas de una tercera respecto del mismo centro y cuyas razones de homotecia tengan el mismo valor absoluto y distinto signo, son simétricas, pues si P’ y P’’ son dos puntos homotéticos de un mismo punto P y están en una misma recta, se verifica, llamando k a la razón de homotecia:

2)    Dos figuras F’ y F’’ homotéticas de una tercera F respecto de dos centros O’ y O’’ y de igual razón k, son congruentes, pues los puntos P’ y P’’ homotéticos de P son tales que es:

                             Y por lo tanto, las rectas P’P’’ y O’O’’ son paralelas y como además se verifica:

                  ,    se pasa del punto P’ de la figura F’ al correspondiente P’’ de F’’ por medio de una traslación definida por el segmento

    P’P’’ = O’P(1-k) ., Deduciéndose, pues, una de otra, por una traslación de ambas figuras congruentes.

3)    La figura homotética de una recta es una recta paralela a ella, porque si el centro O de homotecia está en la recta, y si O no está en la recta, la homotética de esta se deduce de ella mediante una traslación.

4)    La figura homotética de un ángulo, es un ángulo congruente  con él, porque tomando como centro de homotecia el vértice del ángulo, si la hotecia es directa, el ángulo es su propio homotético, y si es inversa es el opuesto por el vértice.

5)    La figura homotética es un triangulo semejante a él

6)    El segmento que une dos puntos  A’ y B’ homoteticos de otros dos A y B, es paralelo al segmento Ab y la razón A’B’: AB es igual a la razón de homotecia.

Estas propiedades subsisten en el espacio donde además:

7)    La figura homotética de un plano es un plano paralelo a él, porque considerando en el plano dado una recta r que gire alrrededor de un punto P, la homotética de r, en cada una de sus posiciones es su paralela que pasa por el punto P’ homotetico de P

8)    Un diedro tiene por homotetico un diedro congruente con el

9)    Una recta y un plano perpendiculares tienen por homotéticos  una recta y un plano  perpendiculares.

Dos figuras tales que los lados de cada una de ellas son líneas isóclinas respecto de los lados de la otra

Dos figuras tales que cada una  es proyección central de la otra. Las rectas que unen cada para de puntos homólogos pasan por un punto que se llama centro de perspectividad o centro perspectivo, y los puntos de intersección de cada par de rectas homólogas están en una recta que es el eje perspectivo o eje de perspectividad

  Son perspectivas:

a)    Una serie rectilínea y un haz de rectas o  un haz de planos,  cuando cada punto de la serie peretenece al rayo correspondiente del haz

b)    Un haz de rectas y otro de planos, cuando cada rayo de aquel pertenece al correspondiente de éste

c)     Dos series rectilíneas de bases distintas, cuando son secciones de un mismo haz de rectas

d)    Dos haces de rectas de vértices distintos, cuando son perspectivas de una misma serie rectilínea o secciones de un mismo haz de planos.

e)    Dos haces de planos de aristas distintas,  cuando son perspectivas de un mismo haz de rectas

f)     Dos series rectilínes de la misma base cuando son secciones de dos haces de rectas perspectivos entre sí

g)    Dos haces de rectas del mismo vértice cuando proyectan dos series rectilíneas perspectivas entre sí o cuando son secciones de dos hacesde planos perspectivos entre sí

h)    Dos haces de planos de la misma arista,  cuando  proyectan dos haces de rectas perspectivos entre sí.

  Poncelet llamó proyectivas a las figuras de primera categoría relacionadas mediante un nuevo finito de proyecciones y secciones, definición que después hizo suya Cremona en sus Elementi di Geometría proiettiva, Turin, 1873, para las de segunda categoría, de modo que si son a y a’ dos planos proyectivos, a un punto de  a le corresponde un punto de  a’  y a los puntos de una recta de  a le corresponden los puntos de una recta de  a’ y por consiguiente a una recta de  a le corresponde una recta de  a’ y si un punto de  a pertenece a una recta de  a, el  punto homólogo de  a’ pertenece a la recta homóloga.

Ahora bien, la polaridad en la circunferencia y el principio de dualidad demuestran que hay otras correspondencias en las que los elementos homólogos son punto y recta , lo cual obliga a modificar la definición anterior diciendo: Que dos planos son proyectivos  cuando a un elemento de uno - punto o recta -  corresponde un elemento del otro, y a los elementos de una figura de primera categoría de uno corresponden los elementos de una figura de primera categoría del otro.

Análogamente esta definición sirve para la proyectividad entre dos haces  o entre un plano y una radiación.

Esta definición tiene sin embargo, el inconveniente de que no basta para demostrar que en dos planos proyectivos, dos figuras de primera categoría homólogas son proyectivas, y por lo tanto ha habido necesidad de volver a modificarla.

Si suponemos para fijar las ideas, que r y r’ son dos series rectilíneas proyectivas en el sentido de Poncelet, r y r’ están relacionadas mediante un número finito de proyecciones y secciones y por lo tanto si A, B, C, D, son cuatro puntos de r y A’, B’, C’, D’ sus homólogos de r’, se tiene: ( ABCD) = (A’B’C’D’), igualdad que podía tomarse como definición de la proyectividad si no exigiera que las bases de las series sean propias; pero como una cuaterna armónica de puntos, de rectas y de planos se puede definir graficamente en todo los casos, Staudt adoptó la siguiente defionición:

Dos figuras de primera categría se llaman proyectivas si están relacionadas de modo que a toda cuaterna armónica de elementos de una figura, correponde una cuaterna armónica de elemntos de la otra.

 O más brevemente:

-La proyectividad entre dos figuras de primera categoría es una correspondencia biunívoca que conserva las cuaternas armónicas.

-Las de segunda categoría son proyectivas cuando a un elemento de una figura F corresponde un elemento de la otra F’ y a los elementos de una figura de primera categoría de F le corresponden los elemntos de una figura de primera categoría de F’.

-La proyectividad entre las figuras de tercera categoría se establece con la condición de que a un elemento del espacio y a los elementos de una figura de  segunda categoría le correspondan los elementos de una figura de segunda categría y por último la proyectividad entre figuras de cuarta categía exige ciertas restricciones porque no se puede establecer una proyectividad en el espacio de rectas apoyandose en el concepto de correspondencia biunívoca.

Aquellas que se pueden someter a un movimiento que las haga homotéticas.

De aquí se deduce que la semejanza es un caso particular de la Homotecia y recíprocamnente, puesto que el movimento de una figura semejante a ( hotettica de ) otra , determina una figura homotética de ( semejante a ) ella, de modo que dos figuras son  semejantes ( homoteticas) cuando una de ellas es congruente con una homotetica de ( semnmejante a la otra).

La definicion anterir equivale a esta otra: Dos figuras F y F’ son semejantes si entre susu puntos existe una correspomndencia biunívoca tal que la razon de las distancia s entre dos puntos de F a la de los puntos homólogos de F’ es constante para todas las posiciones de los pares correspondientes, y  por lo tanrto las distancia s entre los pares de puntos de F y de F’ forman un conjunto de cantidades proporcionales. La razón de las distancias correspondientes se llama razón de semejanza . Si esta es positiva ( negativa) la semejanza es directa ( inversa) . Las figuras semejantes satisfacen las propiedades  identica ( reflexiva) Recíproca ( simétrica ) y transitiva, y dos figuras semejantes cuya razón de semejanza sea la unidad, son congruientes .

De la definición se deduce tambien que dos figuras semejantes pueden llenar todo el espacio, resultando entonces una correspobndencia biunívoca entre los puntos del espacio, cada uno de los cuakles se puede conciderar como perteneciente a la primera( segunad) figura y tiene un hmólogo en la  segunda ( priemera) . Una semejanza transforrma un segmento en otro segmento, una recta en  otra recta, un plano en otro plano,  dos planos perpendiculares en otros dos plaanos que conservan la perpendicularidad y un diedro en otro diedro,etc.

Recta horizontal

Astrónomo francés, ( 1494 - 1555) que promovió los estudios de Matemática muy abandonados en su época en Francia, escribió una obra titulada Protomathesis, París ( 1532) en la que expone los elementos de la aritmética, de la geometría y la Cosmografía, comentó ,los elementos de Euclides; Se contaminó con los cuadradores del círculo e hizo una nueva edición de la famosa Margarita Philosophica de Reisch.

Italiano contemporáneo que sostiene el punto de vista del subjetivismo absoluto para fundamentar la probabilidad y la estadística.

Alemán contemporáneo nacido en 1894. Se preocupa de la Axiomatización de la Matemática, y en la Teoría de Números  ha demostrado que el número de primos entre n y 2n crece infinitamente, siendo mayor que    n/(3. Log 2n) y menor que  7n/ ( 5. Log n).

Italiano de la primera mitad del siglo xvi , discípulo de Ferro, quien le enseño a resolver la ecuación cúbica, lo cual le movió a desafiar a Tartaglia, proponiendole varios problemas que dependían de tales ecuaciones y aceptar, a su vez, de Tartaglia otro desafío análogo. Fiore no resolvió ninguno de los problemas y Tartaglia los resolvió todos. 

Palabras acuñada por Otto Neurath para designar la doctrina del Circulo de Viena, que propugna la enunciación de las cuestiones cintíficas en el lenguaje de la Física. El fisicalismo es pués una sintáxis del Idioma de la Ciencia que excluye toda combinación de palabras sin sentido. Es decir: Todo pseudo problema lo mismo en las ciencias Naturales que en las del Espíritu, englobándolas todas en la  Einheitswissaenschaft: Ciencia Unitaria cuya rama matemática considera tautológica.

Primero contra Kant, que afirmaba  el carácter sintético

Geómetra italiano (1782-18763), con cuyo Trattato di Ceometria descrittiva Nápoles, 1800, dio a conocer en su patria la creación de Monge, especialmente en Nápoles, en donde hubo una verdadera escuela de geómetras, cuyos trabajos aparecieron en los Opuscoli matematici fundados por Flauti en 1811.

Producto de un área s por la proyección  del vector sobre la normal a la misma. Este es el llamado flujo elemental por ser el s un elemento de área. El flujo total a través de un área S es el límite de la suma de todos los flujos elementales, o sea la integral doble.

que, si la superficie es cerrada, representa el volúmen por unidad de tiempo que queda en la superficie, es decir: la diferencia entre el flujo que entra y el que sale.

La significación física del flujo de un vector depende de la magnitud que represente el vector; y asi por ejemplo si es la velocidad de un fluído, el flujo es el caudal que pasa por  s; si es una radiación luminosa, eléctrica, calorífica, etc. el flujo es la cantidad de energía s en la unidad de tiempo, etc.

Nombre que dió Newton a la velocidad del movimiento que engendra la fluente; y al palntearse el problema de determinar la fluente partiendo de la fluxión, llegó al concepto de derivada como fluxión de la fluente respecto de la variable.

Es la curva más sencilla que tiene un   

  punto doble con dos tangentes distintas, y, por tanto, es 

unicursal y admite una asíntota cuya ecuación  es y = - (x+a).

Obispo francés (1502-1594), cuyos conocimientos matemáticos utilizó el papa Gregorio XIII en su bula Inter gravissimos, de 24 de febrero de 1582, que contenía los elemntos de la reforma del calendario.

Perdió mucho tiempo en buscar un método general para resolver una ecuación de cualquier grado descomponiendo su primer miembro en factores por medio de tablas adecuadas.

Otro problema que le preocupó fue el de la integración de ecuaciones diferenciales, y aunque no encontró el método general que buscaba , contribuyóal progreso de la teoría demostrando que la integral general de la ecuación de n - simo grado tiene n constantes arbitrarias. Sus escritos están publicados con el título Mémoires de Mathématique, París, 1764.

Erudito francés (1657-1757) cuyos Elogios académicos han legado a la ciencia 69 biografías de sabios que son preciosos documentos para el estudio de la época. Escribió unos Entretiens sur la pluralité des mondes, enderezado a las damas, que tuvieron gran éxito y unos Elements de Géometrie de l’infini, París, 1727, que fueron un perfecto modelo de razonamientos imperfectos.   

  En Geometría, figura; en Análisis, invariante. El objeto de la teoría de formas es el estudio de las variaciones que sufren cuando entre las variables se hace una sustitución.

Suponiendo, para fijar las ideas, tres variables, si hacemos la sustitución

el determinate de los coeficientes l,m,n es el módulo de la transformación, la cual se llama unimodular cuando el módulo es 1.

Representando por u₁ , u₂, ... , u_n las derivadas de la forma j de las variables x₁, x₂ , ... , x_n que contienen y considerando la sustitución

se obtiene una nueva forma Y (u₁ , u₂ , ... , u_n) equivalente a la primera.

          La equivalente a ella cuando el módulo de la transformación es distinto de cero.

Si representamos por u₁ , u₂, ... , u_n las derivadas de una forma  f  relativa a las variables x₁ , x₂ , ... , x_n que contiene y consideramos la transformación

Se obtiene una nueva forma   F(u₁ , u₂ , ... , u_n)             

Equivalente a la f si el módulo no es nulo, que es la adjunta a ella.

          Geométricamente: si  f = 0 representa una cónica es coordenadas puntuales, F = 0 es la ecuación tangencial de la misma cónica.

Polinomio homogéneo respecto de las variables que contiene. La forma se llama binaria, ternaria, cuaternaria, etc., según que contenga dos, tres, cuatro, etc., variables y es lineal, cuadrática, cúbica o bicuadrática si es de primero, segundo, tercero o cuarto orden. En particular, una forma es bilineal cuando es  lineal respecto de dos series de variables consideradas separadamente, biternaria si contiene dos series de tres variables, etc.         

Supongamos, para fijar las ideas, una forma ternaria de cualquier orden. Esta forma, igualad a cero, representa en coordenadas homogéneas una curva que, en general, carece de puntos dobles, de modo que para que tenga uno es necesario que sus coeficientes cumplan una cierta relación, es decir: la condición de existencia de tal punto vendrá dada por una cierta función de los coeficientes

                                    f(a, b, c, ...) = 0.

Si cambiamos de ejes, y son a’, b’, c’ ... , los nuevos valores de los coeficientes, la función anterior se convierte en

                                    f(a’ , b’ , c’, ... ) = 0.

Ahora bien, es claro que tal propiedad subsiste independientemente de la posición de los ejes; luego las dos funciones anteriores se deben anular simultáneamente para todos los cambios posibles, de ejes, para lo cual es necesario y suficiente que sólo difieran  en un factor numérico o en una potencia del módulo de la sustitución. Las funciones de los coeficientes que tienen la propiedad de conservar elo mismo valor, salvo una potencia del módulo de la sustitución lineal cualquiera son invariantes de la forma dada.

El número de invariantes distintos de una o varias formas es finito porque, expresando para cada uno de ellos la propiedad de invariación, se obtiene una serie de ecuaciones que sólo contienen el determinante de la sustitución y si el número  de estas ecuaciones excede de un cierto número se podrá eliminar el detreminante de la sustitución y los nuevos coeficientes primitivos: resultado absurdo. En particular, el número de invariantes de una forma única es igual, a lo más, al número de relaciones que pueden existir entre los coeficientes  de esta forma  y los de su transformada aumentado en una unidad.

En las formas binarias se verifica el teorema de hermite: El número de invariantes de orden n con respecto a los coeficientes de una forma binaria de orden p, es igual al número de invariantes de orden p de una forma de orden n.

Si la forma binaria es de orden impar 2n - 1, se puede reducir de una manera única a una suma  de n términos seguida de un  término adicional.

En las cuadráticas, cuyo estudio reviste especial interés por sus aplicaciones a los problemas de máximos y mínimos, teoría de números, curvas y superficies de segundo grado, etc., se demuestran que si contienen  n  variables se pueden reducir de infinitos modos a una suma algebraica de n cuadrados independientes.

La teoría de las formas puede estudiarse en A. Capelli: Lezioni sulla teoria delle forme algebriche, Nápoles, 1902.

  La que no se puede simplificar más sin restringir su generalidad mediante sustituciones lineales.

  Si x, y, z, u, representan formas lineales que son, según los casos, dependientes o independientes, las formas

  x² + y² ................... binaria

  x² + y² + z² ............ ternaria

  ax² + by² + cz² + du² cuaternaria

  x³ + y³ .................... cúbica binaria

  x³ + y³ + z³ + 6axyz cúbica ternaria

  x³ + y³ + z³ + u³ ...... cúbica cuaternaria

  x⁴ + y³ + 6ax²y² ...... bicuadrática binaria

por ejemplo, son formas canónicas.

  Polinomio homogéneo de segundo grado.

      ds² = åa_ij dx_idx_j ,

                   (i = j = 1, 2, 3, ... , n).

 Si se verifica, en particular

      ds² = dx₁² + dx₂² + ... + dx_n²  el espacio es euclídeo o de curvatura nula.

forma exponencial de un número complejo.

  Véase potencias de base real y exponente complejo.

Orientación de la Matemática que tiende a construir esta ciencia axiomáticamente.

  Véase axiomática.

fórmula de Cardano.

  Dadas dos funciones f (x) y j (x) derivables en el intervalo (a, b), cuyas derivadas no se anulan en ningún punto del intervalo, y es f (b) ¹ f(a) y  j (b) ¹  j  (a), se verifica:

  Llamando a, b, c ; a’, b’, c’ ;  a’’, b’’, c’’ a los cosenos directores de la tangente, de la  normal principal y de la binormal a una curva alabeada, se tiene:

Que permiten calcular los radios de curvatura R₁ y R₂ de flexión y de torsión cuando se conocen los nueve cosenos directores.

Si es W un recinto simplemente conexo de contorno C, y P y Q dos funciones continuas y uniformes de x é y, se tiene:

 dxdy = Pdx + Qdy, y si es V un volumen limitado por un recinto cerrado G, y P, Q y R tres funciones  continuas y uniformes en x, y, t, es

 dxdydz    =  .

  La primera de estas dos fórmulas: fórmula de Green en el plano, permite transformar una integral doble en curvilínea y viceversa, y la segunda: fórmula de Green en el espacio, permite transformar una integral triple en una superficie y viceversa.

Para calcular la superficie de un tríángulo  

  S =   que da al área S de un triángulo en función del perímetro p y de los lados a, b y c 

  Es la de Taylor para  h = 0, resultando:

  F(x) = f (0) +  f’(0) +  f ’’ (0) + ... +  f^(n-1) (0) + R_n , donde el resto R_n puede tener cualquiera de las formas dadas para el de Taylor;

  Esta fórmula supone que f^(n-1) (x) es continua en el intervalo (0, x) y que f⁽ⁿ⁾ (x) está definida en el mismo intervalo.

 Al desarrollo tayloriano se puede aplicar el de Maclaurin siempre que de origen a una serie convergente, es decir: el desarrollo en serie de Maclaurin es válido para los valores de x que hagan que el término complementario tienda a cero cuando n crece indefinidamente.

  Véase potencia de un vector y potencias de base compleja y exponente entero.

 Se emplea para calcular el área aproximada de un recinto limitado por una curva, el eje OX y dos ordenadas extremas  correspondientes a las abscisas a y b. Dividiendo el recinto por ordenadas equidistantes, llamando h a la distancia entre ellas, E a la suma de las extremas, I a la de las impares y P a la de las pares, la fórmula de simpson es:

            S = (E + 4I + 2P).  

 Para encontrar valores aproximados de las factoriales de números muy grandes que se presentan en los problemas de probabilidades, se emplea la siguiente fórmula dada por Stirling;

                  N! = nⁿ e^-n .

  El error absoluto que se comete tomando este valor de n! crece con n, pero el relativo es   

que puede hacerse tan pequeño como queramos dando a n valores muy grandes, y así, por ejemplo, para n = 10, la férmula da 3598696 y como el verdadero valor es 10! = 3628800, pero el relativo es

                                   ,

y podemos, por tanto, contar con dos cifras exactas. Para n = 100, la fórmula da 9324847.10¹⁵⁷ y por ser exactamente 100! = 93326215.10¹⁵⁷, el error relativo es menor que el 0,08 %;  para n = 1000, la fórmula da 40235.10²⁵⁶³ , que tiene cuatro cifras exactas, etc.

Representando por ....?  una curva cerrada trazada en una superficie en la cual determina un recinto G, Stokes demostró 

que es

Fórmula que permite transformar una integral de superficie en curvilínea y viceversa.

 Dada una función racional y entera de una sola variable

  F(x)  = a₀xⁿ +a₁x^n-1+... + a_n-1x+a_n, si ponemos x + h en vez de x, se tiene: 

f(x+h) =

= a₀ (x+h)ⁿ + a₁(x + h)^n-1 + ... + a_n-1 (x+h) + a_n.

  Desarrollano los paréntesis del segundo miembro por la fórmula del binomio, derivando la fórmula dada y aplicando el mismo proceso a las derivadas sucesivas, resulta la siguiente fórmula debida a Taylor:

Que sólo es válida cuando f(x) es un polinomio; pero se generaliza para una función cualquiera en un intervalo (a , b) si admite derivadas sucesivas finitas en el punto a, siempre que en vez del último término complementario conveniente, resultando así:

Este término R_n tiene diversas expresiones, entre ellas, las siguientes:

Debidas a Schlömilch, Lagrange y Cauchy, respectivamente.

  La fórmula de Taylor tiene excepcional importancia, pues si el término complementario o resto tiende a cero cuando n ® a , se puede prolongar indefinidamente, y al ser entonces lím R_n = 0, resulta la expresión de f(b) en serie convergente.

  Véase potencia de un binomio.

Si x₁ es la abscisa del punto de contacto de una tangente a una curva definida por la ecuación Y = f(x) = 0 ,

la fórmula de los incrementos finitos es

de la que se deduce inmediatamente:

I.                La derivada de una constante es nula y recíprocamente.

II.             Dos funciones que sólo difieren en una constante tienen la misma derivada.

III.          Si una función es    creciente / decreciente        en un intervalo, su derivada es     positiva / negativa      o nula  en este intervalo.

  Véase teorema del valor medio, teorema de la media y variación de las funciones.